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ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【集合論】「Z的・」の結合律から、(b・c)・f＝b・(c・f)なので、「Z的＝」の推移律を2回用いて(a・d)・f＝b・(d・e)。さらに「Z的・」の結合律・交換律を用いて(a・f)・d＝(b・e)・dと書ける。あとは両辺の右端のdを約せるかどうかに掛かっている。
2012-09-18 22:43:36
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【集合論】このあたり、「Z的・」の交換律・結合律が示されているわけだから自由奔放に「a・f・d」とか書いて式変形すればいいんだけど、どうも不安になってしまうのよね。貧乏性。
2012-09-18 22:43:51
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【集合論】dを約せる根拠となるLemmaの証明まで辿り着かなかったが、本日はここまで。思い返せば3章で整数を作るときも、同じようにLemmaを立てていた。
2012-09-18 22:47:14
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【集合論】3章の「Z的＝」の推移性の証明を見返したら、（N的に）a＋d＝b＋cとc＋f＝d＋eの片々を豪快に足している（p.105）。これも第1式にfを、第2式にbを足してもよかったわけだな。
2012-09-19 08:36:14
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【集合論】示したいLemmaは「『（Z的に）p・q＝r・qかつ￢q＝0_Z』ならば（Z的に）p＝r」。Zの定理なので定義に返ってNの世界に潜らざるを得ない。自然数i,j,k,s,t,uを用いて（Z的に）p＝<i,j>、q＝<k,s>、r＝<t,u>とする。
2012-09-19 13:09:30
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【集合論】「Z的・」の定義どおりに仮定を書き直すと（この前やったから詳細は省略）、（N的に）(i・k＋j・s)＋(u・k＋t・s)＝(j・k＋i・s)＋(t・k＋u・s)、かつ￢(k＝s)。
2012-09-19 13:09:44
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【集合論】これは「N的＋及び・」の計算法則を駆使して(i＋u)・k＋(j＋t)・s＝(j＋t)・k＋(i＋u)・sと変形できる。普通ならこれを(i＋u)・(k－s)＝(j＋t)・(k－s)として、k－s(≠0)で割ってi＋u＝j＋t⇔<i,j>＝<t,u>⇔p＝rとしたいところ。
2012-09-19 13:10:19
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【集合論】だがこの変形は許されない。「N的－」は定義されていない。kとsの大小関係も分からない。(k－s)で約せるという定理はまだ導いていない。いまはZ的に約せることを示す最中だが、ここではN的に約すことができればよい……が、それもまだ導いていないのだ。
2012-09-19 13:10:38
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
俺にとって、こうやって数体系を組み上げていく様をフォローする作業は、小学校から走って帰って作りかけのプラモデルに取り掛かる心境に似ている。
2012-09-19 13:29:07
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
め、めげませんから！ RT @ta_shim_at_nhn @y_bonten ごめん。そこまできちんとやってない。 やればできるはずで済ませてます。
2012-09-19 14:57:51
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【集合論】ここから先は解答に頼らないと無理だった。kとsの大小が不明なら場合分けしよう。どうせ同じ議論になるはず。正確には、自然数k,sは三分律によりk＞s, k＝s, k＜sのうちちょうど一つが成り立つ（定理2.19）。いま￢(k＝s)なのでk＞sとk＜sの一方のみが成り立つ。
2012-09-19 15:34:22
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【集合論】いまk＞sの場合を考えると、そもそもの定義がk＝s＋S(v)となる自然数vが存在することだった（p18）。これを反映させると(i＋u)・(s＋S(v))＋(j＋t)・s＝(j＋t)・(s＋S(v))＋(i＋u)・s。
2012-09-19 15:35:01
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【集合論】再びN的演算の法則を駆使して、(i＋u)・S(v)＋(i＋u＋j＋t)・s＝(j＋t)・S(v)＋(i＋u＋j＋t)・s。あはは、括弧省略しちゃった。「うむ、そろそろよかろう」（俺師匠）。
2012-09-19 15:35:38
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【集合論】で、両辺の(i＋u＋j＋t)・sを約せる理由は？そう、3章の初めに用意したLemma2.20。これで(i＋u)・S(v)＝(j＋t)・S(v)となり、あとはこのS(v)がN的等式において約すことができるかどうかが命。
2012-09-19 15:35:53
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【集合論】背理法によって、i＋u＝j＋tでないとすると、例の三分律と「＞」の定義により、(一方)＝(他方)＋S(w)となる自然数wが存在する。これを反映させてLemma2.20で消約するとS(w)・S(v)＝0。確かに1以上の2数の積はゼロになりそうにないので、矛盾が導けそうだ。
2012-09-19 16:00:50
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【集合論】積の公理、和の公理（どんどんさかのぼるな・・・）によってS(w)・S(v)＝(S(w)・v)＋S(w)＝S(S(w)・v＋w)これで全体をSでくるむことができたので、めでたく定理2.3(c)に矛盾する。
2012-09-19 16:01:13
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【集合論】これで完成。i＋u＝j＋tから（Z的に）<i,j>＝<t,u>すなわちp＝rで、推移性が示された。ここで@ta_shim_at_nhn先生の宿題を済まそう。一連の証明の中で「分母（にあたるもの）≠0」が効いてきたのは、推移性でk≠sを使うところ。そこ以外は関係なかった。
2012-09-19 16:13:36
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【集合論】だから、反例を挙げるならば推移律に反するものを見つければいい。「分母（にあたるもの）がゼロ」を許したとして、<α,β>＝<0_Z, 0_Z>、<0_Z, 0_Z>＝<γ,δ>は常に成り立つが、<α,β>＝<γ,δ>とは限らない。
2012-09-19 16:14:33
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【集合論】つーわけで10日がかりで、たったひとつの問題（Project 16)が終了。本日はここまで！
2012-09-19 16:16:01