数学パラダイス(関数問題)

|f((n+1)/m)-f(n/m)|≦1/m^2．
x=n/mとすると|f(x)-f(0)|≦n/m^2=x/m→0 (m→∞)であるからf(x)=a(任意定数)．

k=m=n=1を代入してf(1)(2-f(1))≧1よりf(1)=1．
m=1,k=nを代入してf(n)+f(n^2)-{f(n)}^2≧1，k=1,m=nを代入して2f(n)-f(n^2)≧1．
辺々加えて整理すると(f(n)-2)(f(n)-1)≦0より1≦f(n)≦2．
あるjに対しf(j)=1+aとおく．f(j^2)≧{f(j)}^2-f(j)+1=1+a+a^2．
これより，f(j^(2^i))≧1+a+ia^2がいえる(帰納法を使えばよい)ので，
十分大きなjをとればa>0のときf(j^(2^i))>2とでき不適．したがってa=0．
これよりf(n)=1 となるが，このとき確かに成り立つ．

(yがmの誤記である場合) n3^f(m)|f(n)3^m．
n=0を代入して0|f(0)3^mよりf(0)=0．m=0を代入してn|f(n)．
f(n)=0は条件を満たす．
ここで，f(k)>0なるkが存在するとして，3^j|f(k)かつ3^(j+1)\not|f(k)となるようjをとると3^j≦f(k)．
m=n=kを代入してk3^f(k)|f(k)3^kであり，3の指数を比較してf(k)≦k+j．
これらより3^j≦k+jであるが，3^j>2jよりj<kつまりf(k)<2k．ここでk|f(k)よりf(k)=k．
従ってf(n)=0,nであり，f(n)=0 (恒等的に0)もこれに含まれる．
f(n)=0,n のとき，確かに成り立つ．

(yがnの誤記である場合) n3^f(m)|f(n)3^n．
m=n=1を代入して3^f(1)|3f(1)であるから，f(1)=1．n=1を代入して3^f(m)|3．よってf(m)=0,1．
f(n)=0のとき，n3^f(m)|0は成り立つ．
f(n)=1のとき，n3^f(m)|3^nなので，nが3以外の素因数を持つと不適．n=3^iと書けるとき，i>nよりこれは成り立つ．
従って，f(n)=0,1 (ただし，1はn=3^iと書ける時に限る）．

f_1(n)=f(n)，f_{m+1}n=f(f_m(n))と定義する．
元の式のnにf_m(n)を代入してf_{m+2}(n)≦max{f_m(n),f_{m+1}(n)} (等号成立はf_m(n)=f_{m+1}(n))であるから，
帰納的にf_m(n)≦max{n,f(n)}が言え，鳩の巣原理よりk<lかつf_k(n)=f_l(n)なるk,lが存在する．
単射なのでf_{l-k}(n)=nだが，f_{l-k}(n)≦max{n,f(n)}の等号が成立する条件を考えるとf(n)=n．

x=0を代入してf(y)+f(-y)=2f(0)cos(y)．
-4f(x)=2f(x)(cosπ-1)={f(x+π)-f(x)}-{f(x)-f(x-π)}={f(x+π)+f(-x)-2f(0)cos(x)}-{f(x)+f(π-x)-2f(0)cos(x-π)}=2f(π/2)(cos((2x+π)/2)-cos((2x-π)/2))-4f(0)cos(x)=-4(f(π/2)sin(x)+f(0)cos(x))
これより，f(x)=f(π/2)sin(x)+f(0)cos(x)．
よってf(x)=Asin(x)+Bcos(x) (A,B：定数)と書けるが，これは任意のA,Bについて元の式を満たす．