数学パラダイス(関数問題)

x=2π/13とおき，cos(x)+cos(3x)+cos(4x)=yとおく．
cos((13-k)x)=cos(kx) …(*)なので，0=Σ_[k=0,…,12]cos(kx)=1+2Σ_[k=1,…,6]cos(kx)．
よってcos(2x)+cos(5x)+cos(6x)=-y-1/2．
積和及び(*)を用いてy(-y-1/2)=3/2Σ_[k=1,…,6]cos(kx)=-3/4．
cos(x)+cos(4x)>0，cos(3x)>0よりy>0に注意して，y=(1+√13)/4．

a=2π/19とおき，f(k)=cos(2ka)+cos(3ka)+cos(5ka) (kは19と互いに素)とおく．
Σ_[j=0,…,18]cos(jka)=0およびcos((19-j)ka)=cos(ka)であることに注意して計算すると，4{f(k)}^2=4-2f(2k)．
ここで，cos(9π/19)=-cos(10π/19)よりx=-2f(1)．
f(1)=cos(2a)+2cos(a)cos(4a)>0よりx=-√(4-2f(2))．
f(2)=cos(6a)+2cos(3a)cos(7a)<0より-2f(2)=√(4-2f(4))．
f(4)=cos(20a)(1+2cos(4ka))<0より-2f(4)=√(4-2f(8))．
f(8)=f(1)である．以上をまとめてx+(√(4+(√(4+(√(4+x))))))=0．

f(1-f(0))=0よりf(x)=f(x-f(1-f(0)))=1-x-(1-f(0))=f(0)-x．
0=f(1-f(0))=f(0)-(1-f(0))=2f(0)-1よりf(0)=1/2．
従ってf(x)=1/2-x．この関数は確かに元の式を満たす．

f(0)={f(0)}^2-f(0)+1よりf(0)=1．f(x)=f(x)f(1)-f(x+1)+1より，f(1)=aとおくと
f(2)=a^2-a+1，f(3)=(a-1)(a^2-a+1)+1，f(4)=(a-1)^2(a^2-a+1)+aと計算でき，
f(4)={f(2)}^2-f(4)+1に代入してa=0,1,2を得る．
(i) a=0のとき
f(x)=-f(x+1)+1より，整数nに対しf(n)=0,1 (それぞれnが奇数，偶数のとき)．
f(x+2)=f(x)に注意すると，mが偶数のとき，0=f(m/m)=f(m)f(1/m)-f(m+1/m)+1=f(1/m)-f(1/m)+1=1より不適．
(ii) a=1のとき
f(x)=f(x)-f(x+1)+1より，任意のxに対してf(x)=1．この関数は確かに元の式を満たす．
(iii) a=2のとき
f(x)=2f(x)-f(x+1)+1より，f(x+1)=f(x)+1．これより整数nに対しf(n)=n+1．
mを整数として，2=f(m/m)=f(m)f(1/m)-f(m+1/m)+1=(m+1)f(1/m)-f(1/m)-m+1よりf(1/m)=1/m+1．
nも整数とすると，f(n/m)=f(n)f(1/m)-f(n+1/m)+1=(n+1)(1/m+1)-(1/m+n+1)+1=n/m+1．
これより任意のx∈Qに対しf(x)=x+1．この関数は確かに元の式を満たす．

f(0+0)=f(0)+f(0)+0よりf(0)=0．f(x+1)=f(x)+f(1)+xなのでf(1)=a+1/2とおくと，n∈Nとしてf(n)=n^2/2+an．
f((n+1)/m)=f(1/m)+f(n/m)+n/m^2より，f(1/m)=a_m+1/2m^2とおくとf(n/m)=n^2/2m^2+na_m．
n=mのとき，a+1/2=1/2+ma_mよりa_m=a/m．従ってf(n/m)=n^2/2m^2+na/mより0<x∈Qに対しf(x)=x^2/2+ax．
また，f(x-x)=f(x)+f(-x)-x^2よりf(-x)=x^2/2-axなのでx<0でも成立する．この関数は確かに元の式を満たす．

f(f(0)y)=(1+y)f(0)よりf(0)=a≠0のとき，f(x)=x+a．
f(0)=0のとき，0=(1-x)(f(x)-x)より，x≠1でf(x)=x．
元の式にx=y=1/2を代入して1/2=f(1)/2よりf(1)=1．
以上をあわせてf(x)=x+a (a:任意定数)であり，この関数は確かに元の式を満たす．

f(x)=0は確かにこの式を満たす．
f(a)≠0なるaが存在するとき，f(af(a+f(y)))=f(f(a^2))+yf(a)なので
変形してy=g(f(y))を満たすような関数gを構成できる．
元の式にx=0を代入してf(0)=f(f(0))+yf(0)だが，yは任意なのでf(0)=0．
元の式にy=0を代入してf(xf(x))=f(f(x^2))であり，両辺にgを作用させてxf(x)=f(x^2)．
これより，f(-x)=-f(x)．
y=-g(x)を元の式に代入して，0=f(f(x^2))-g(x)f(x)．
これよりf(x)g(x)=f(xf(x))…(*)．
(*)にx=g(1)を代入してg(g(1))=f(g(1)f(g(1)))=1，両辺にfを作用させてg(1)=f(1)．
(*)にx=1を代入してf(1)g(1)=f(f(1))=f(g(1))=1よりf(1)=g(1)=±1．
元の式にy=g(1-x)を代入して±f(x)=g(x)f(x)+g(1-x)f(x)なのでx≠0のときg(x)+g(1-x)=±1．
この式にx=f(y)を代入してy+g(1-f(y))=±1なのでf(±1-y)=1-f(y)．
元の式にx=1を代入してf(f(1+f(y)))=±1+yであるが，
1+f(y)=f(±1+y)なのでf(f(f(x)))=x．つまりg(x)=f(f(x))．
xf(x)=f(x^2)にx=f(y)を代入したものと(*)よりf({f(y)}^2)=f(y)g(y)=f(yf(y))
fは全単射なのでf(y)≠0のときy=f(y)．f(0)=0と合わせてf(x)=x．これは確かに元の式を満たす．

左辺はyについての偶関数なのでyf(y)も偶関数．つまりf(x)は奇関数．
f(f(y+x)f(y-x))=-f(f(y+x)f(y-x))=xf(x)-y^2より，xf(x)-y^2=x^2-yf(y)．
これよりxf(x)-x^2=-(yf(y)-y^2)は定数であり，これをaとおくとa=-aよりa=0．
従ってxf(x)=x^2であるからx≠0のときf(x)=x．
f(0)=b≠0とおくと，元の式にx=y=0を代入して0=f(b^2)=b^2より矛盾するのでf(0)=0．
これより，x=0のときもf(x)=xであり，この関数は確かに元の式を満たす．

y=(f(x)-x^2)/2を代入して，f(2x)(f(x)-x^2)/2=0．特にf(0)=0．
x,yにそれぞれ0を代入して，f(f(x))=f(x^2)，f(-y)=f(y)．
f(a)≠a^2なるa≠0が存在するとき，f(2a)(f(a)-a^2)/2=0よりf(2a)=0．さらにf(4a)=0．
x=2aを代入してf(y)=f(y+4a^2)よりこの関数は周期4a^2を持つが
y=4a^2を代入して4a^2f(2x)=f(x^2+4a^2)-f(f(x)-4a^2)=f(x^2)-f(f(x))=0よりf(x)=0．これは元の式を満たす．
また，x≠0ならばf(x)=x^2のとき，x=0の場合もあわせてf(x)=x^2であり，これは元の式を満たす．

f(n)=((3-√5)/10)*((7+3√5)/2)^(n-1)+((3+√5)/10)*((7-3√5)/2)^(n-1)+282/5．
ここで，(3干√5)/10=(1/2干1/(2√5))^2，(7±√5)/2=((3±√5)/2)^2であり，
g(n)=(1/2-1/(2√5))((3+√5)/2)^(n-1)+(1/2+1/(2√5))((3-√5)/2)^(n-1)を考えると，
g(n)は√5の符号を逆にした二項の和なので有理数．更にf(n)=(g(n))^2+56よりg(n)は整数．
f(n)=(g(n)+1)^2とすると両辺の偶奇が合わず不適なので，f(n)≧(g(n)+2)^2．よってg(n)≦13.
g(n)>(1/4)*2^(n-1)より，g(n)≦13となるのはn≦6のとき．全て調べてn=4,5が求める答え．

y=-{f(x)}^2を代入して(右辺)=0より，f(k)=0なるkが存在する．
x=kを代入してf(f(y))=y．
x=f(z)を代入してf(zf(z)+f(y))=z^2+yなので元の式と比較して{f(z)}^2=z^2．
あるa≠0について，f(a)=±aのとき，x=aを代入してf(±a^2+f(y))=a^2+y．
両辺の絶対値をとると，|a^2±f(y)|=|a^2+y|より，y≠0ならばf(y)=±y．(いずれも複合同順)
従って求める関数はf(x)=xまたはf(x)=-x．このとき確かに元の式を満たす．

x=0を代入してf(0)f(y)=f(0)f(f(0))よりf(0)≠0のときf(x)は定数．f(x)=aとおくとa^2=ax+a^2よりa=0．
以下，f(0)=0とする．ここでf(a)=0なるa≠0があるとすると，x=aを代入して0=af(y)より恒等的にf(x)=0．
よってx≠0ならf(x)≠0であるとする．
y=0を代入して{f(x)}^2=f(x)f(f(x))である．
f(1)=aとおいてx=1を代入するとaf(y+1)=f(y)+a^2つまりf(x+1)=f(x)/a+a
これより，f(2)=a+1，f(3)=a+1+1/a，f(4)=a+1+1/a+1/a^2．
ここで，x=y=2を代入するとf(2)f(4)=2f(2)+{f(2)}^2よりf(4)=2+f(2)=a+3なので，a=1,-1/2．
y=1を代入するとf(x)f(x+1)=ax+{f(x)}^2よりf(x+1)=ax/f(x)+f(x)であるから，
x=1を代入した式と比較して，a=1のときf(x)=x (x=0のときも成立)．
a=-1/2のとき，f(x)=-(1±√(1+24x))/12となるのでf(3)=-1/2+1-2=-3/2が無理数となり不適．