『Henle集合論』勉強会・第5章

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

@kamo_hiroyasu ありがとうございます。勉強を進めながら、ご教授の意味が分かるようになっているかどうか、何度も読み返してみます。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

ああ、こんなに教わってよいのだろうか（感涙）教わって当たり前みたいな態度を私が取り始めたら皆様遠慮なく叱ってください。正直、そうなるのが怖い。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

@kyon_math ありがとうございます。巨人の肩で見た景色を、微力ですが他の初心者にも伝えたいです。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

すべてを一気に解決しようとせず、かつ、つまづいたことを忘れず、前に進もう。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

【集合論】で、「集合の要素は必ず集合なのか？」という疑問はかなり意味不明だと自覚しているが、少なくともQの要素に関しては、集合Z×Z上の同値類だから（定理3.2により）集合をなすはず。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

【集合論】schnittを一般的に「Qの部分集合（で、条件を満たすもの）」と書くと分かりにくいが、個々のものは{x∈Q|φ(x)}として与えれば集合をなすはず。そういうQの部分集合をとってきて、それが条件を満たせばschnittと呼ばれ、満たさなければ呼ばれない、ただそれだけ。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

【集合論】もしかしたら条件を満たすようなQの部分集合は1つもないかもしれないが、それならRは空集合になるだけだ（実際はならないが）。個々のschnittと、schnitt全体の集まりであるRを混同しないように注意しよう。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

【集合論】定理1.12で、（個々の）同値類が集合をなすことを示したのち、1.14で同値類全体の集まりが集合をなすことを示した経験が、かえってつまづきの元だったかもしれない。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

【集合論】よく考えてみれば、1.14の証明に1.12を使っているというわけではない。ただ分出公理を適用するときに、{x∈A|φ(x)}か{x∈P(A)|ψ(x)}か、という違い。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

【集合論】Rについても、個々のschnittがどんなものか分からなくても、そしてそんなものが存在するかどうかすら分からなくても、schnitt全体の集まりが集合をなすことは証明できる。{x∈P(Q)|・・・・}として、schnittであるための条件を書けばよい。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

【集合論】schnittの定義(3)、「rは最大元を持たない」という条件は自然言語で書かれているけれど、これを翻訳する際は注意を要する。「xはrの最大元である」は、x∈r∧∀y[y＜x ∨ y＝x]。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

【集合論】∀yの中身は、弱い順序を採用していればy≦xと書いて済ませられるけど、Henle本では強い順序を用いる流儀なので、こう書かざるを得ない。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

【訂正】∀yのところは∀y∈rでした。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

∀y以降は￢∃y∈r[￢(y＜x ∨ y＝x)]と書き直せるけれど、これを￢∃y∈r[x＜y]とか∀y∈r[￢(x＜y)]とはあまり書きたくない。これは最大元ではなく極大元の定義であり、今回のように全順序を扱っているときはたまたま無害。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

【集合論】ともあれ、条件(3)は￢∃x[x∈r∧∀y∈r[y＜x∨y＝x]]、あるいは同じことだが￢∃x∈r[∀y∈r[y＜x∨y＝x]]。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

【集合論】こういう条件を満たすQの部分集合すなわちschnittは、Qの冪集合P(Q)の要素であり、scnitt全体の集まりはP(Q)の部分集合。解答はR＝{r∈P(Q)|∀p,q∈Q[q∈r∧p＜q→p∈r]∧￢∃x∈r[∀y∈r[y＜x∨y＝x]]∧r≠空∧r≠Q}かな。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

【集合論】本筋と外れるけど、∀x∈A[φ(x)]とか∃x∈A[φ(x)]という書き方って、初心者にはかなり難しいよね。前者は∀x[x∈A→φ(x)]、後者は∃x[x∈A∧φ(x)]の略記と考える。

結城浩 / Hiroshi Yuki @hyuki

@y_bonten 難しいとは思いませんでしたが、ゲーデル巻を書いているとき、その表記の定義を書くときになって初めて「なるほど」と思いました。大変鈍い私です。(>_<)

結城浩 / Hiroshi Yuki @hyuki

@y_bonten ドモルガンといえば、プログラムで使う三値論理（T,F,undef）でもドモルガンは成り立つので素敵と思った記憶が。『プログラマの数学』にも書きましたが。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

【集合論】肝心の実数の定義の「ココロ」というか、どういう発想で実数概念を有理数から構築しているのか、ぜんぜん触れてなかった。ぶっちゃけて言うと、「ある実数より小さい有理数全体の集合」を、その実数と同一視する、ということ。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

【集合論】・・・というのは実数の知識を先取りした説明なので、あまりおおっぴらには言いづらい。定義にのっとって考え直すと、条件(1)(2)(4)を満たすようなrがあれば、Qはrとその補集合に二分され、どちらも空集合ではない。そして、rの任意の要素はrの補集合の任意の要素より小さい。

Hiroyasu Kamo @kamo_hiroyasu

@y_bonten 切断による実数の構成は順序集合の完備化の例ですね。なので、有理数の乗法を実数の乗法に拡張できることが自明でなくて面倒です。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

【集合論】つまり、有理数を並べた数直線（小さいものほど左にある）をイメージすれば、ある点を境としてスパッと左右に切断され、その左側がrに相当する。問題となるのはその境界点。「切断」を初めて学ぶ者は何人（なんぴと）も、この境界点について思索を巡らせる時間がたっぷり必要だと思う。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

@kamo_hiroyasu ありがとうございます。いつも「広域地図」を示していただけて助かります。Henle本では実数の乗法の定義は省略されていますが、そういう事情があるのですね。

ぼんてんぴょん(Bontenpøn) @y_bonten

数学を勉強しているときに助言をいただくと、いつも地図がズームアウトするような感じを覚える。「そうか、この辺にいるのだな」と確認してから、再びズームインして歩き出すのだ。