2012年11月22日

わたるさんの「限定ジャンケン」についての考察

考察という程立派なものでは断じてないw 高校数学が精一杯の(ホントはそれも超怪しい)人間が オロオロと迷いふらついてるだけの話である。 数学の得意な方で気が向いたら、教えてくださいm(_ _)m
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@magicianwataru

自分はチョキかパーしか出さない。相手はグーチョキパー全て出せる。ルールは普通のじゃんけんと同じ。ただし、3回あいこになったら自分の勝ち、という心理戦じゃんけん思い付いた。

2012-11-21 21:28:19
ゆうゆう @you_you_1

RT> カイジ的である。 さて条件は双方とも知ってるとしてどちらが有利だろうか?

2012-11-22 10:17:18
ゆうゆう @you_you_1

チョキかパーしか出せない方をA、グーチョキパー全て出せる方をBとすると、どちらが有利か? 

2012-11-22 10:19:32
ゆうゆう @you_you_1

私の直感では、Bが有利なはずである。

2012-11-22 10:20:13
ゆうゆう @you_you_1

直感とツイートしたけれど、傍証的な薄弱な根拠はある(定量的ではないw)

2012-11-22 10:23:19
ゆうゆう @you_you_1

まず、アイコは1回でも、Aの勝ちとした条件に変えたとする(Aな有利な条件に変更) 

2012-11-22 10:24:39
ゆうゆう @you_you_1

この場合が、全く互角である(論省略だけれど、自明に近いと思います)

2012-11-22 10:26:28
ゆうゆう @you_you_1

ということは、前2回まではBは最悪でもチョキを出し続ければ、先の条件までは行く。その場合でも勝率5割は保証される。

2012-11-22 10:29:36
ゆうゆう @you_you_1

2回アイコになるまでにAがいろいろ考えて、パーでもだせば(消して愚かとは言えない)労せず勝利である。

2012-11-22 10:31:23
ゆうゆう @you_you_1

勿論、Aもチョキを出し続けると考えて、Bがグーを出そうとすれば裏を疲れる可能性はあるが、その選択肢はBに委ねられている。

2012-11-22 10:33:57
ゆうゆう @you_you_1

感覚的には、Aのアイコ勝利条件回数aとして、お互いの最善を尽くした場合のBの勝利確率をbとすると、f(a)=bで、f’(a)>0 ,f”(a)<0,f(1)=1/2 だと思う。

2012-11-22 10:42:08
ゆうゆう @you_you_1

a→∞にした場合、b→1なのかはちょっとわからない。

2012-11-22 10:42:58
ゆうゆう @you_you_1

数学に強い方、気が向きましたら解説よろしくお願いします。

2012-11-22 10:43:47
ゆうゆう @you_you_1

将棋的に言えば「千日手の選択権を片方が持っている」状態のイメージ(わかりにくくしてどうするw)

2012-11-22 10:45:12
ゆうゆう @you_you_1

Aのの出す手を、チョキ(1/2)、パー(1/2)、Bの出す手をチョキ(1/2)、グー(1/2)と設定して、モンテカルロ法で解くとAが断然有利になりそうだw

2012-11-22 10:58:14
ゆうゆう @you_you_1

でも意味ある解になるかがわからない。

2012-11-22 11:00:47
ゆうゆう @you_you_1

a→∞にした場合、b→2/3 かなあ(野生の勘w)

2012-11-22 11:17:36
ゆうゆう @you_you_1

モンテカルロ法の設定のまま頭の中でやっただけw

2012-11-22 11:18:38
ゆうゆう @you_you_1

限定ジャンケンの件、Bになった場合は「とりあえず」残りアイコ回数(その時点であと何回アイコになったら負けの回数)分の1をグーを出すことにすれば、「最適かどうかは別として」かなり圧倒的優位にたつ。この情報は相手が知らない方が良いが知ったとしても、こちらの圧倒的優位は変わらないw

2012-11-22 12:14:29
ゆうゆう @you_you_1

ああ、最後の1回の時だけは、グーとは限らないとしてね(これはバレなければ決めてても良い)

2012-11-22 12:15:19
ゆうゆう @you_you_1

やはり、a→∞では、B→1だな。(論証なしw) でも、ほぼ確信したw

2012-11-22 12:44:27
ゆうゆう @you_you_1

なぜならば、最適とは証明されていない「ゆうゆうシステム」(Bはアイコ残り回数分の一の確率でグーを出す)であっても、a→∞では、B→1となるから。

2012-11-22 12:47:02
東邦新悟@手品家新宿店 @toho_s

@Akitsugu_Domoto @you_you_1 仕事しながら考えたところ3:1で三択有利という事になりました。

2012-11-22 21:30:30
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コメント

yasudayasu @yasudayasu_t 2012年11月23日
n回アイコで勝ちのルールの時のAの勝つ確率は1/(n+1)になるので、「a→∞では、B→1」は合ってるかと。 @you_you_1
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yasudayasu @yasudayasu_t 2012年11月23日
1回アイコで勝ちの時は、Aはチョキとパーを確率1/2ずつ、Bはグーとチョキを確率1/2ずつ出せば、両者とも勝つ確率は1/2ずつ。これを基に、2回アイコで勝ちの時を考える。
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yasudayasu @yasudayasu_t 2012年11月23日
1度目でアイコなら次は勝率1/2ずつ。よって(1度目のAの手,1度目のBの手)=【Aの勝率,Bの勝率】とすると(チョキ,グー)=【0,1】、(チョキ,チョキ)=【1/2,1/2】、(チョキ,パー)=【1,0】、(パー,グー)=【1,0】、(パー,チョキ)=【0,1】、(パー,パー)=【1/2,1/2】
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yasudayasu @yasudayasu_t 2012年11月23日
ここでBはパーを出さない。何故なら、パーを出すくらいならチョキを出しておいた方が、Aがチョキを出そうがパーを出そうが有利になるから。よって(チョキ,グー)=【0,1】、(チョキ,チョキ)=【1/2,1/2】、(パー,グー)=【1,0】、(パー,チョキ)=【0,1】だけを考える。
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yasudayasu @yasudayasu_t 2012年11月23日
このゲームの混合戦略ナッシュ均衡は、Aはチョキを確率2/3、パーを確率1/3で出し、Bはグーを確率1/3、チョキを確率2/3で出すというものになる。この時、Aの勝つ確率は1/3、Bの勝つ確率は2/3。
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yasudayasu @yasudayasu_t 2012年11月23日
これを基に、3回アイコで勝ちの時を考えると、(チョキ,グー)=【0,1】、(チョキ,チョキ)=【1/3,2/3】、(パー,グー)=【1,0】、(パー,チョキ)=【0,1】というゲームとなる。それぞれチョキを確率3/4で出し、Aの勝つ確率は1/4、Bの勝つ確率は3/4。
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yasudayasu @yasudayasu_t 2012年11月23日
同様にk回アイコで勝ちの時を考えると(チョキ,グー)=【0,1】、(チョキ,チョキ)=【1/(k+1),k/(k+1)】、(パー,グー)=【1,0】、(パー,チョキ)=【0,1】のゲームとなって、それぞれチョキを確率k/(k+1)で出し、Aの勝つ確率は1/(k+1)となる。
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yasudayasu @yasudayasu_t 2012年11月23日
残り回数がまだ多い時にはお互いチョキでアイコ狙いが基本線になるけど、ちょっとは違った手を出すことでの勝ちを目指した方が最適。すると手の限られたAが不利になり、回数が多いとそれが積み重なるというイメージでしょうか。
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yasudayasu @yasudayasu_t 2012年11月23日
限定ジャンケンに見えて、実は非限定なEカードのようなものかも知れない。お互いチョキでのアイコ潰し合いが基本線として繰り返される中で、Aは相手がグーを出す瞬間を狙ってパーを出さなければならないが、BはAがチョキを出している時にグーを出せればよい。
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たるたる @heporap 2012年11月25日
全パターンはBグー:Aチョキ×パー○、Bチョキ:Aチョキ△パー×、Bパー:Aチョキ○パー△。となるから、○:△:×が2:2:2だからじゃんけんそのものは有利不利なし。ただしアイコ3回ルールでAが有利になると思う。
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ゆうゆう @you_you_1 2012年11月26日
まとめを更新しました。
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ゆうゆう @you_you_1 2012年11月26日
さらにまとめを更新しました。しつこくて申し訳ありません><
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yasudayasu @yasudayasu_t 2012年11月27日
@heporap Bチョキ:Aチョキ△パー×とBパー:Aチョキ○パー△を比較してみて下さい。Aがチョキを出した時も、パーを出した時も、Bはパーを出した方が有利ですので、Bはチョキは出しません(△<○と×<△)。そしてAはBがチョキを出さないことを前提に動きます。
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たるたる @heporap 2012年11月27日
yasudayasu_t Aは『Bがグーを出す』と思ってパーを出す。それを予測したBはチョキを出した。というのは考えられない事なんですか?
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yasudayasu @yasudayasu_t 2012年11月27日
@heporap まず、『Bチョキ:Aチョキ△パー×』の見方を間違ってました。当たり前ですけど△や×はAの利得ですね。なので、正しくは『Bチョキ:Aチョキ△パー×、Bパー:Aチョキ○パー△』とを比較して…
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yasudayasu @yasudayasu_t 2012年11月27日
@heporap 『Aがチョキを出した時も、パーを出した時も、Bはチョキを出した方が有利ですので、Bはパーは出しません』となります。
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yasudayasu @yasudayasu_t 2012年11月27日
@heporap で、この時、質問のような状況は『Aは「Bがグーを出す」と思ってパーを出す。それを予測したBはパーを出した。』となります。しかし、これはありえずBはチョキを出すでしょう。
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yasudayasu @yasudayasu_t 2012年11月27日
@heporap 『Aは「Bがチョキを出す」と思ってチョキを出す。それを予測したBはパーを出した。』 『Aは「Bがパーを出す」と思ってチョキを出す。それを予測したBはパーを出した。』もありえないことが分かると思います。結局、Bはパーを出しません。
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たるたる @heporap 2012年11月27日
yasudayasu_t そっか理解できた。Bがチョキを出さないじゃなくて、パーを出さない。か。 Bパー:Aチョキ○パー△のパターンは、Bが不利だから。
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たるたる @heporap 2012年11月27日
yasudayasu_t Bは負けかアイコにしかならないパーを捨ててグーとチョキで勝負する。B「グー・チョキ」、A「チョキ・パー」の限定じゃんけんになってしまう、と。
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たるたる @heporap 2012年11月27日
yasudayasu_t あ、Bパー:Aチョキ○というのは、Aが勝ちという意味です。
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たるたる @heporap 2012年11月27日
yasudayasu_t Bグー:Aチョキ、Bグー:Aパー、Bチョキ:Aチョキ、Bチョキ:Aパーの4種類。Bは勝ち2種類、引き分け1種類、負け1種類なので、Bが(比率的に)有利。でいいのかな。
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たるたる @heporap 2012年11月27日
yasudayasu_t あと、アイコ3回でAの勝ちというルールが、2:1:1の比率に対してどのくらい影響するのか。そういう計算は、文系の頭にはさっぱりわかりません。
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たるたる @heporap 2012年11月27日
yasudayasu_t 3回勝負でBの勝ち:引き分け:負け=6:3:3 として。アイコ3回でBの負けになるから、実質6:0:4。という、数学のすの字もないむちゃくちゃな計算。すみません、文系の頭ってこんなもんです。
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たるたる @heporap 2012年11月27日
yasudayasu_t とはいえ、1回目で勝敗が決まったら終わりとなって3回勝負するわけではないですし、1/(k+1)の話になるんでしょうね。
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はさみっこ @hasamic 2012年12月26日
ゲーム理論のことはほとんど知らないのですが解けたかもしれないので書きます。 Bは当然パーを出さないこととする。 n回あいこでAが勝ちとするとn回目のじゃんけんではAとBの勝つ確率は等しい。 ここでAの戦略として Pー1〜n-1回目のいずれかでパーを出す Qーn回ともチョキを出す Bの戦略として Rー1〜n-1回目のいずれかでグーを出す Sーn回ともチョキを出す と定める。
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はさみっこ @hasamic 2012年12月26日
(Aの戦略,Bの戦略)=〈Aの勝つ確率,Bの勝つ確率〉と表すことにすると、 (P,R)の場合にAが勝つのは1〜n-1回のどこでBがグーを出すのかを見切れば良いので、 (P,R)=〈1/n-1,n-2/n-1〉 (P,S)、(Q,R)の場合はAが必敗なので、 (P,S)=(Q,R)=〈0,1〉 (Q,S)はn-1回ともあいこなので、最初に見たとおり、(Q,S)=〈1/2,1/2〉
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はさみっこ @hasamic 2012年12月26日
まとめると、 (P,R)=〈1/n-1,n-2/n-1〉 (P,S)=〈0,1〉 (Q,R)=〈0,1〉 (Q,S)=〈1/2,1/2 〉 よって、 n=1のときはAとBは対等であり、 n>1ではBが有利。 またn=3のときは(P,R)=(Q,S)かつ(P,S)=(Q,R)となるので、Aがどちらの戦略を選ぶかが勝率に影響しないので、PかQをランダムに選ぶとして、Aの勝率は1/4 。
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はさみっこ @hasamic 2012年12月26日
戦略QとSの「n回とも」というのは「n-1回とも」の間違いです。
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はさみっこ @hasamic 2012年12月26日
要するにAはBがいつグーを出すのか、もしくは出さないのかを見破るわけですからnが大きいほどBが有利になるわけですね。
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