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相転移P @phasetr
https://t.co/85NviTKC 【繰り込みが発散を回避する方法だというのは理解が不十分な時に数学に紹介された時の印象が一人歩きしている悪い例です。今の理解を数学者が書き直したものは http://t.co/6DD9ZR1u … 等にあります。もう正当化されています。】
相転移P @phasetr
@phasetr https://t.co/KapsUbWq 【ついでに質問ですが、場の理論の数学的構成が今でも難しいのはなぜなんでしょうか?】
相転移P @phasetr
@phasetr https://t.co/nymGe79v 【それはやはり極限操作が難しいからですね。リーマン積分を台形近似で計算してその極限をとって収束するのを示すような感じで、時空を格子で近似したところでの場の理論を極限をとって収束するか調べるのがとても難しいです。】
相転移P @phasetr
@phasetr 相対論的の場の理論の方は全く分からないが,非相対論的場の量子論の話ならドストライクなので,せっかくだからちょっと書いてみる
相転移P @phasetr
@phasetr まず極限操作が恐ろしくきついというのが,現在一番の問題だ.物理としては問題外の低水準で数理物理が止まっているのが現状
相転移P @phasetr
@phasetr どのくらいひどいかというと,物理としてはあって当然でそこから議論が始まる基底状態・平衡状態の存在がまともに示せていない.平衡状態は微妙なところだが,基底状態については(適当な意味での)非存在と赤外発散が同値なので困っている,というところ.非相対論では,だが
相転移P @phasetr
@phasetr 知りうる限りの相対論の状況からいくと,難しすぎるので時空2次元のφ^4から始まった.2次と3次はよくて,5次元以上は自明であることも分かった.4次元の弱結合領域で自明な理論になってしまうことが分かり,強結合領域には手が出ない
相転移P @phasetr
@phasetr QEDは物理的に非存在ということが予想されていて,弱い傍証はあるようだが,どうにもなっていない. http://t.co/bESta25t QCDはさらに難しくて手に負えない.それでほとんど誰にも手に負えなくなって構成的場の量子論は事実上死んだ
相転移P @phasetr
@phasetr ちなみにWittenが「超弦関係のアレは何かの間違いで22世紀の数学が20-21世紀に登場してしまっただけで,21世紀は場の理論をきちんと数学にするのが大事.というわけで構成的場の理論のやつらはしっかりやっておくように」とか言ったらしい
Q @life_wont_wait
数学ばっかりやってると物理ができないのは文字通りで自明だが、数学ができすぎるために物理的に当然のものを「数学的にあり得ないので存在しない」などと言ってしまうこともあり得るのだろうか
相転移P @phasetr
@phasetr 「相対論だと紫外・赤外両方の処理が必要だから大変.だったらせめて紫外を抑えて少しは楽にしよう」ということで非相対論に流れる人が少しいた.北大の新井先生あたりは(多分)そんな感じ.1980年代後半くらいの動き
相転移P @phasetr
@phasetr 歴史の話はこのくらい.個人的な興味としては赤外発散だけでなく同時に相転移の処理や平衡状態との絡みも興味があるが,とりあえず発散の困難とその処理の数学面にフォーカスしたい
相転移P @phasetr
@life_wont_wait フォンノイマンは「量子力学の数学的基礎」でデルタ関数は存在しないことをご丁寧に証明しているそうです.私は読んで確認していませんが.超弦関係の数学の人は「今の数学ではなくても多分何かあるだろう」とは思っているのではないでしょうか
相転移P @phasetr
@life_wont_wait 私の場合は「ないと困るし,数学の人はやってくれないので,何をしてでも作る」と言う感じです
相転移P @phasetr
@phasetr で,赤外発散と基底状態の非存在だが,経路積分方向の正当化ではなく作用素環による定式化に向けて説明する.経路積分方向は数学としては確率論なのだが,私は(勉強不足で)こちらを制御できず,作用素環方面の処理がぎりぎりできるだけなので
相転移P @phasetr
@phasetr 気分としては大したことはない.デルタ関数の処理と同じようなものだ.まずデルタ関数関係の極限について考える.熱核をf_t(x)としよう.t>0ではp≧1の全てのL^pに入り,しかも解析的でさえある
相転移P @phasetr
@phasetr t→0の極限を取ろう.どう思ってもいいが,何にしろデルタ関数に「収束」する.このとき困るのはデルタ関数はどのL^pにも入らないし,微分可能性も訳が分からない.収束先はどこかにあってほしいが,それは何なのか,収束もどういう意味で収束するのかがさっぱり分からない
相転移P @phasetr
@phasetr ここで超関数が出てくる.代数方程式を考えるとき,実数内に解があるとは限らないが,複素数ならあるといえる.このように解を考える範囲を大きくすれば解の存在が言える(場合がある)ので,それにあわせて大きな空間を取ってきて,それが超関数の空間だということになる
相転移P @phasetr
@phasetr 収束がどうの,というのもあるがとりあえずそれはいい.「大きな空間」といったが,超関数の空間はきちんとL^pは含んでいる.めんどいので引き続き位相はほうっておこう.空間を大きくして解を収束させることには成功した.量子力学レベルでは
相転移P @phasetr
@phasetr 熱核とそのデルタ関数への収束を場の理論で言うとこうなる.まず理論を数学的にwell-definedにするために赤外正則化を入れる.熱核で言うとt>0の時間を考えることに対応する.ここではL^pに対応する扱いやすい空間に基底状態があることは示せる(場合がある)
ドラミギ @SO880
ウィッテンはドラえもんズの誰かなの? https://t.co/FA7WbFFQ
相転移P @phasetr
@phasetr 物理としてまともな理論にするには赤外正則化を外す必要がある.これがt→0に対応する.このときデルタ関数同様,基底状態がここではないどこかに飛んでいく.そして解がどこかに行ってしまうのと赤外発散(定義が結構めんどい)が同値(の場合がある)ので物理として逃げられない
相転移P @phasetr
@phasetr 実際に赤外発散と変な収束の同値性について知りたい方は新井先生のフォック空間と量子場の12章を見てほしい.van Hove モデルと言う簡単なモデルで同じ振る舞いが見られる.13章のNelsonモデルでも同じ振る舞いが起きることが分かっている
相転移P @phasetr
@phasetr 量子力学の場合,デルタ関数・超関数の場合と同じように大きな空間を用意して何とかできないの,と言う方向で考えようとすると作用素環がうまくはまる,と言う話をこれから始めるが,その前に元の空間の大きさから考える
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