量子力学・場の理論・量子統計の数学に関する最近のいくつかの話題

しゃぶしゃぶうさぎ @wr_r

@phasetr リプライ感謝します。摂動論を勉強した頃、摂動を加える前後で固有関数の様相が大きく変わらないのかが疑問でモヤモヤしていたのですが、これも難しい問題だったのですね。別の話題かつ大雑把な質問でアレなのですが、いま「この辺」の他にはどんなトピックがホットなのですか。

相転移P @phasetr

@wr_r リプライ今頃気づきました．すみません．本当に最近の動向は良く分かりませんし，私の専門は場の理論・量子統計なので量子力学方面は微妙ですが，何にせよこのあたりで知っているのをいくつか

相転移P @phasetr

@wr_r まず観測・量子情報関係が色々あります．早稲田だと中里・安倍研が正にここでしょう．数学というか数理物理だと理科大の大矢先生や電通大の長谷川さんあたりがやっています．具体的な問題はあまり詳しくないですがこの辺も作用素不等式の研究といった数学色が強い話題も色々あるので

相転移P @phasetr

@wr_r 新井先生の『量子現象の数理』にも書いてありますが，アハラノフ-ボーム効果もまだ死んでいません http://t.co/lpafAm6F 比較的最近，数学会の解析学賞の話題になる程度には色々面倒な話があります．3次元でのアハラノフ-ボームは多分未開です

相転移P @phasetr

@wr_r 物理でも当然大事な話ですが，散乱理論もまだまだ数学的には未開の部分がたくさんあります． http://t.co/T9j7JGVl これは量子力学ですが，相対論的場の理論でも http://t.co/PFZlqz80 などがあります．こちらは量子力学以上に手付かず

相転移P @phasetr

@wr_r またもや新井先生の本に書いてありますが，超対称性量子力学もまだまだ発展途上でしょう．特にこれは幾何との絡みがあるようなので，研究者がたくさんいるはずです．あとアンダーソン局在も数学の人が熱心に取り組んでいる話題です

相転移P @phasetr

@wr_r 「この辺の話題」といった丁度その部分ですが，場の理論だと，発散の困難関係を処理しないと何も前に進まない状況で，いまだにそこではまっているところです．同じく摂動の問題で，励起状態は準安定になって星井というのが以前言った所ですが，発散の困難の場合は基底状態の摂動

相転移P @phasetr

@wr_r 基底状態は基底状態のまま，固有値でいて星井のですが，これが固有値でなくなる（固有状態がどこかに行ってしまう）というのが発散の困難です．ちょうど量子力学のδ関数のガウシアンによる近似で，t>0のときはまともな関数なのに極限を取ると超関数になってしまうのと同じ問題です

相転移P @phasetr

@wr_r その前の基底状態・平衡状態の存在証明（発散の困難の回避）で手間取っているためほとんど進んでいませんが，物性理論への応用が私のやりたい部分です．電子-フォノン相互作用系での強磁性やフォノンのBECなど，相転移関係で基本的な部分をはっきりさせたいというところ

相転移P @phasetr

@wr_r 励起状態関係の話やレーザーの話と数学的に近い部分・重なる部分があるのですが，平衡への回帰という非平衡統計の問題も議論されています．このあたりは早稲田の田崎先生がC^*を使う手法で研究されていましたが，数年前に亡くなってしまいました

相転移P @phasetr

@wr_r 場の理論というより統計ですが，数学として扱っているモデル・手法がかなり重なる，または全く同じだったりするので，研究者も多少重なりがあります．かなり数学よりになりますが，流体力学極限という確率論の話も使いつつ非平衡関係のことをしているSpohnという人もいます

相転移P @phasetr

@wr_r 量子力学方面に戻りますが，物理でも最近話題になっている（らしい）circuit QEDも数学ベースでの研究があります．http://t.co/QMmhqZYA

相転移P @phasetr

@wr_r これは一次元調和振動子の摂動みたいなものなのでモデル自体は非常にシンプルですが，最近ホットな話題と聞いています

相転移P @phasetr

@wr_r あまり物理っぽい話を紹介できなくて申し訳ないのですが，学部に毛が生えた程度，または本当に学部の物理水準でも既に数学としては色々問題があります．解決済みですが，量子統計だと平衡状態が物理で書かれるTr e^{-βH}という形では存在しないという問題もあったのでした