交換可能性と行列

連日の興味深いツイート。 今回は交換可能性と行列の話。
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ぽよ @Poyo_F

0)普通の算術の掛け算は順番を替えても答えが同じ( #交換可能 )になるという話は常識だと思っていたら、「それは桁数が多くなってもそうなんですか?」と聞かれて、ハッとしたことがある。ぽよもマダマダ未熟だと思った。自分の思い込みをなんでも一般化するのは未熟者の証拠である。

2013-05-11 19:04:53
ぽよ @Poyo_F

1)ぽよは九九を覚える大事な時期に #交換可能 だと思ったせいで、半分覚え損ねてしまった。殆どの人が九九を覚えられるのは、普通は交換可能性を簡単に常識だと思わないからなのか。。あの時、もっと無垢でいられたら、ぽよも九九の81組全てを覚えていた事だろう。悔やまれる話だ。

2013-05-11 19:06:58
ぽよ @Poyo_F

2)掛け算とか加算も、一つの操作規則であって、交換したら答えが違うという規則もありうる。掛け算の順に関して『答えが同じになっても記述が違うなら×だ』等と言う面倒な人とは話したくも無いが、答えが違う場合については話は別だ。そして、 #交換可能 でない事は実際にもよくある話だ。

2013-05-11 19:07:53
ぽよ @Poyo_F

3)例えばネジを2回回してから3回回すと5回回したことになる。3回の後に2回でも結果は同じだ(つまり #交換可能 )。ところがリラックマを向こうに90度回した(向こうに倒す)後、左に90度回転(左に倒す)させたらリラックマは左を向いて右側面を下に寝ているが、これが逆なら仰向けだ。

2013-05-11 19:09:14
ぽよ @Poyo_F

4)このリラックマの回転操作を数学みたいに書くと、向こうに倒す操作をx、左に倒す操作をyと書くと、xyなら左向きで、yxなら仰向けという事になる。このように操作の順を交換すると結果が異なる事(← #交換可能 でない事)は良くある話だ。

2013-05-11 19:10:21
ぽよ @Poyo_F

5) #交換可能 性だけではなく操作の回数に規則が付いて回る話もある。例えばルービックキューブの面を90度回転させる操作をyと書くと、4回繰り返したy^4は常に1となる。何の事はない、90度回転を4回行うと360度回って元に戻る(つまり変わらない=1を掛けただけ)という事だ。

2013-05-11 19:11:39
ぽよ @Poyo_F

6)数学では、この操作をxとかy等の変数で表して、規則だけで議論するが、ぽよはやはり具体的に数値を見たい。そんな時に行列は最適だ。行列で「掛けても変わらない数」の1は{(1 0)(0 1)}と書く。「何を掛けても同じになる数」の0は{(0 0)(0 0)}と書く。 #交換可能

2013-05-11 19:14:16
ぽよ @Poyo_F

7)例えば、ルービックキューブのy^4=1の4つの解はy={(1 0)(0 1)}、{(0 -1)(1 0)}、{(0 1)(-1 0)}、{(-1 0)(0 -1)}。それぞれ4乗してみると、確かに1={(1 0)(0 1)}に戻る。また行列は一般に #交換可能 ではない。

2013-05-11 19:15:55
ぽよ @Poyo_F

8)回転の行列は{(cosθ -sinθ)(sinθ cosθ)}={(1 0)(0 1)}cosθ+{(0 -1)(1 0)}sinθと書けるが、{(0 -1)(1 0)}=iと書くならi^2=-1={(-1 0)(0 -1)}なのでcosθ+i・sinθなのだ。 #交換可能

2013-05-12 09:18:13
ぽよ @Poyo_F

9)操作の #交換可能 性については、このように書き始めると尽きない面白さがある。行列はその具体例なのだ。あなたが小学生だって、面白いから考えてみたらいい。「ベクトルを習ってからだ」とか、どうでもいい雑音は気にするな。小学生が行列に興味を持って何が悪い? 行列は面白いゾ。

2013-05-11 19:19:40
ぽよ @Poyo_F

10)以前に書いた、このprezi ( http://t.co/iQqvANaA0Y )も、参考にどうぞ。

2013-05-11 19:25:31
ぽよ @Poyo_F

今のは、ある人の要望に応えての、ぽよの強引な私見ですので。。。。。

2013-05-11 19:27:35

コメント

ピッコロ大魔王 @piccolo_daimaou 2013年5月12日
まとめを更新しました。8)の間違い修正を入れ替え。
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