交換可能性と行列

ぽよ @Poyo_F

０）普通の算術の掛け算は順番を替えても答えが同じ（ #交換可能 ）になるという話は常識だと思っていたら、「それは桁数が多くなってもそうなんですか？」と聞かれて、ハッとしたことがある。ぽよもマダマダ未熟だと思った。自分の思い込みをなんでも一般化するのは未熟者の証拠である。

ぽよ @Poyo_F

１）ぽよは九九を覚える大事な時期に #交換可能 だと思ったせいで、半分覚え損ねてしまった。殆どの人が九九を覚えられるのは、普通は交換可能性を簡単に常識だと思わないからなのか。。あの時、もっと無垢でいられたら、ぽよも九九の８１組全てを覚えていた事だろう。悔やまれる話だ。

ぽよ @Poyo_F

２）掛け算とか加算も、一つの操作規則であって、交換したら答えが違うという規則もありうる。掛け算の順に関して『答えが同じになっても記述が違うなら×だ』等と言う面倒な人とは話したくも無いが、答えが違う場合については話は別だ。そして、 #交換可能 でない事は実際にもよくある話だ。

ぽよ @Poyo_F

３）例えばネジを２回回してから３回回すと５回回したことになる。３回の後に２回でも結果は同じだ（つまり #交換可能 ）。ところがリラックマを向こうに９０度回した（向こうに倒す）後、左に９０度回転（左に倒す）させたらリラックマは左を向いて右側面を下に寝ているが、これが逆なら仰向けだ。

ぽよ @Poyo_F

４）このリラックマの回転操作を数学みたいに書くと、向こうに倒す操作をｘ、左に倒す操作をｙと書くと、ｘｙなら左向きで、ｙｘなら仰向けという事になる。このように操作の順を交換すると結果が異なる事（← #交換可能 でない事）は良くある話だ。

ぽよ @Poyo_F

５） #交換可能 性だけではなく操作の回数に規則が付いて回る話もある。例えばルービックキューブの面を９０度回転させる操作をｙと書くと、４回繰り返したｙ^4は常に１となる。何の事はない、９０度回転を４回行うと３６０度回って元に戻る（つまり変わらない＝１を掛けただけ）という事だ。

ぽよ @Poyo_F

６）数学では、この操作をｘとかｙ等の変数で表して、規則だけで議論するが、ぽよはやはり具体的に数値を見たい。そんな時に行列は最適だ。行列で「掛けても変わらない数」の１は{(1 0)(0 1)}と書く。「何を掛けても同じになる数」の０は{(0 0)(0 0)}と書く。 #交換可能

ぽよ @Poyo_F

７）例えば、ルービックキューブのｙ^4＝１の４つの解はｙ＝{(1 0)(0 1)}、{(0 -1)(1 0)}、{(0 1)(-1 0)}、{(-1 0)(0 -1)}。それぞれ４乗してみると、確かに１＝{(1 0)(0 1)}に戻る。また行列は一般に #交換可能 ではない。

ぽよ @Poyo_F

８）回転の行列は{(cosθ -sinθ)(sinθ cosθ)}＝{(1 0)(0 1)}cosθ＋{(0 -1)(1 0)}sinθと書けるが、{(0 -1)(1 0)}＝iと書くならi^2＝－１＝{(-1 0)(0 -1)}なのでcosθ＋i・sinθなのだ。 #交換可能

ぽよ @Poyo_F

９）操作の #交換可能 性については、このように書き始めると尽きない面白さがある。行列はその具体例なのだ。あなたが小学生だって、面白いから考えてみたらいい。「ベクトルを習ってからだ」とか、どうでもいい雑音は気にするな。小学生が行列に興味を持って何が悪い？ 行列は面白いゾ。

ぽよ @Poyo_F

１０）以前に書いた、このprezi　（ http://t.co/iQqvANaA0Y ）も、参考にどうぞ。

ぽよ @Poyo_F

今のは、ある人の要望に応えての、ぽよの強引な私見ですので。。。。。