Turing次数理論のMartin予想をめぐる対話

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@tri_iro １．AD から巨大基数を持つモデルを作るときに，Turing degree 上の Martin 測度を考えて，その測度を使ってプリクリ強制みたいなことをするんですが，Martin 予想が成り立つと，そういう議論をするときに都合のよいことが起こるかもしれません。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@tri_iro ２．Mouse operator を real たちに制限したものは Turing invariant な関数になるんですが，巨大基数があるときに，現在存在が知られているほぼ全ての mouse operator は AD のモデルに属することがわかっているので，

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@tri_iro AD の下で Turing invariant な関数たちの構造を理解することで，mouse operator についての理解が進むということはあるかもしれません。そのうえで Martin 予想が活躍する可能性は 0 ではないと思います。

Takayuki Kihara @tri_iro

@DaiskeIkegami あ、そうでした。Martin予想とボレル同値関係に関するKechrisの予想との関連はrecursion theoryの方でも有名です。ただ、Kechris予想が記述集合論でどの程度、注目されている話なのかはよく知りませんが……。

Takayuki Kihara @tri_iro

@DaiskeIkegami はい、最近のMartin予想周辺の研究については以前から気になっています。先日もミラノでAndrew Marksと会いましたが、彼のような若い研究者が手を出し始めれば、周辺の色々な人も触発されて、近いうちに大きい進展があるんじゃないかと期待しています

Takayuki Kihara @tri_iro

@DaiskeIkegami はい、最近のMartin予想周辺の研究については以前から気になっています。先日もミラノでAndrew Marksと会いましたが、彼のような若い研究者が手を出し始めれば、周辺の色々な人も触発されて、近いうちに大きい進展があるんじゃないかと期待しています

Takayuki Kihara @tri_iro

@DaiskeIkegami ADでの巨大基数の構成にMartin測度を使うのですか。その辺の知識を全然持っていないので、Martin測度のMartin予想以外の文脈での利用法を全然知らなかったのですが、そういう話は非常に気になります。

Takayuki Kihara @tri_iro

@DaiskeIkegami なるほど、色々教えて下さってありがとうございます。mouseの研究への応用があったとしたら非常に興味深いですね。

Takayuki Kihara @tri_iro

なんで最近ヴィクトリア・デルフィノ懸賞問題の情報を集めてたかというと、前回挑戦した未解決問題はほぼ解決したことだし、あとは今やってる仕事が一段落したら、今度はMartin予想に手を出してみようかなあと。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@tri_iro Martin 予想は，可算ボレル同値関係の理論で反例を見つけるときに使われたりしているようですね。例えば，可算ボレル同値関係は必ず可算群からの group action で記述できる（Feldman-Moore）んですが，

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@tri_iro では，可算ボレル同値関係はどのくらい自分を「定義する」群のことを｢覚えている」のか，というのはこの文脈で興味深い問題になります。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@tri_iro 十分条件として，a) 群 G がスタンダードボレル空間 X に free に act していて，b) X 上の G-invariant なボレル確率測度が存在すれば，G による同値関係から G が復元できることが知られています。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@tri_iro じゃあ，a) や b) を全く満たさない可算ボレル同値関係ってあるの？って考えたときに，a) については universal なやつが反例になることが知られていています。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@tri_iro そして，Simon Thomas が証明したのは，Martin Conjecture を仮定すると b) についても universal なやつが反例になっている，ということです。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@tri_iro Simon Thomas はその関連で，countable to one な Borel reduction について関心を集中したときの可算ボレル同値関係についての universality と

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@tri_iro Turing 同値関係による ergodicity のきれいな関係を（Martin 予想を使って）証明しています。詳しくはこのへん（http://t.co/rBpMamjbXM, http://t.co/cCubhVPoj1）

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@tri_iro を見てください。すみません，ちょっとネットの接続が不安定で則レスできてないですね。

Takayuki Kihara @tri_iro

@DaiskeIkegami Martin予想とボレル同値関係に関する丁寧な解説ありがとうございます。Thomasの可算ボレル同値関係の研究も割と気になっていたんですが、なるほど、そういう話だったんですね。非常に興味が沸いてきたので、詳細な内容をチェックしてみます。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@tri_iro おぉ，Andrew に会いましたか。彼は非常に切れる recursion theorist ですね。バークレーでしばらく一緒でした。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@tri_iro 彼は，AD 関連，ボレル同値関係，ボレルグラフの chromatic number とかにバリバリ興味あるので，Martin 予想周辺でこれからいろいろやっていきそうですね。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@tri_iro そうですね。素朴な例で言うと，ADを仮定したときに，Thetaより小さい任意の基数上の measure はMartin測度をある写像で移したものになってます。だから，Theta より下の超フィルターについて知りたいときは Martin 測度をよく調べるんですよ。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@tri_iro さっき言ってた，Martin 測度を使ってプリクリ強制みたいなことするってのは，AD からウディン基数無限個持つ ZFC のモデルを作るときにやります。なんていうか，ウディン基数になる基数とその witness たちを下からω回ズンズン積んでくんですが，

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@tri_iro 積んでいく過程で，途中でできた下のウディン基数が Woodinness を保つように，AD がある ground model と劇的には変わらない generic extension で，

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@tri_iro ground model の Turing degrees について ω-cofinal な sequence が存在するものが欲しくなるんですが，そこで Martin 測度を使ってプリクリ強制みたいなことします。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@tri_iro お役に立てたようでよかったです。僕も詳しい証明は知らないので，もしかしたら変なことを言っているかもしれません。もしこちらが何かおかしなことを言っていることに気づいた場合は教えてください。