はっぱくチルノのパーフェクトさんすう教室

八白 嘘＠作詞依頼受付中 @neargarden

a2は「0.13476746463157343...」なので、b2の二桁目は必ず５となる。どんなに一致しようと「0.15476746463157343...」以上に近づくことはない。

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数字をもっとわかりやすくしてみよう。 a10を「0.15115111511115...」としよう。10桁目は１なので、b10の10桁目は５となる。どんなに一致しようとも10桁目が異なるので、b10は「0.15115111551115...」となる。

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つまり、bkという数字は、akのいずれの数字とも一致しないのである。無限小数で表される数のどこかの数が絶対に一致せず、つまり元の数とは一致しない数となる。

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これが何を表しているのか、わかるだろうか？ つまり「区間(0,1)内のすべての無理数に番号をつけて書き下す」ことができないのだ。何故ならば、先程akに対する数字bkを考えたように、どこかに漏れが生じてしまうからである。

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つまり、無理数とは一対一対応ではない。ひとつずつ数えていくことができない。アレフ・ゼロではないのだ。 この無理数の濃度を、ゼロを取ってアレフと称する。この証明はカントルの対角線論法と呼ばれるものであり、実に明解だ。 ここに「アレフ・ゼロ＜アレフ」が成り立つことがわかった。

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有理数と無理数。同じ無限であるように思われるが、この二つの無限を比べた時、有理数はほとんどゼロに等しくなってしまう。それほどまでに差がある。なんて面白いんだろう！

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この面白さが幾人かにでも伝わることを祈り、今回のペダンティック数学教室は筆を置くこととする。