はっぱくチルノのパーフェクトさんすう教室

八白 嘘＠作詞依頼受付中 @neargarden

無限について思いを馳せてみよう。 果たして整数はどのくらいの数存在するだろうか。

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１無量大数？　１不可説不可説転？　いやいや。 整数は、この世に無限に存在する。桁が幾つであろうと、整数は整数としての定義を崩さない。それは、桁が無限個あっても何ら変わるところのない数学的定理だ。

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ならば、偶数と奇数はどうだろう。 偶数とは２で割れる整数。奇数とは２で割れない整数のことである。感覚的に考えて、偶数は奇数と同じ数ありそうだ。だが、整数と比べてみるとどうだろう。 偶数＋奇数＝整数 だから、整数は偶数と奇数のそれぞれ二倍ずつ存在するのだろうか。

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結論を言うと、違う。 偶数・奇数は、整数とまったく同じ数存在する。

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実を言うと、無限は数では表せない。それはある意味当たり前の真理である。無限に桁が続くものを、どう表現すればいいと言うのか。せいぜい、「∞」と記号に置き換えるくらいのものだろう。

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無限は、部分と全体とが一致する。奇数も偶数も、整数とまったく同じ数だけある。これは最早、数と呼び表せるものではない。 無限は、「濃度」で表すのだ。

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さて、整数は数えることができる。それはある意味当然のことで、「１」という数字に「１」を、「２」という数字に「２」をあてがうようなものだ。これは無限に続けることができる。 こうして数字に対して番号を振っていく行為を「一対一対応」という。

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偶数は数えることができるだろうか。 奇数はどうだろうか。 答えは是だ。 「２」→「１」、「４」→「２」、「６」→「３」。 「１」→「１」、「３」→「２」、「５」→「３」。 いずれも一対一対応している。

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こうして一対一対応する無限のことを、アレフ・ゼロと呼ぶ。 実はこれ、無限の中でも最も濃度の低い無限なのだ。 我々が普段意識する無限は、無限の中でも最も単純なものだと言える。

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ならば、より濃度の高い無限があるのだろうか。 勿論ある。 皆、「無理数」という言葉を聞いたことがあるだろう。習ったはずだ。だが、その意味まで完全に理解している方は少ないと思われるので、解説しておく。

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いわゆる有理数というものは、比で表すことのできる数のことだ。比とはつまり、分数である。 たとえば1/3。 これは少数に直すと0.333333...と3が無限に続く数となるが、分数では表すことができる。

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分数で表すことのできる無限小数は、すべて小数点以下ｘ桁目から循環している。 1/7を少数で表してみよう。 0.1428571428571328... と、「142857」が無限に循環し続けることがわかる。

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逆に言うならば、循環しない無限小数が無理数であると言える。 具体的な例を挙げるならば、円周率＝π。 これは3.1415926535...と、規則性のない数が永遠に続く。他にも√2や√3など、挙げればきりがない。

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さて有理数の数は無限である。だが、一対一対応する──つまり、アレフ・ゼロなのだろうか。 これは、有理数を漏れなく数え上げる経路を考えれば、すぐにわかる。

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一枚の紙を考えよう。その左上にはぽつりと、「１」という数字が書かれている。数字は右に行くに従い、２、３、４、５・・・と増えていく。 数字は下にも伸びている。1/2、1/3、1/4・・・。どんどん小さくなっていく。

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1/2から右に行けば、2/2、3/2、4/2・・・。 1/3から右に行けば、2/3、3/3、4/3・・・。 無限の広さを持つ紙は、数字によって埋め尽くされている。 要は、この紙に書かれている数字を漏れなく数える方法があるかどうか、である。

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答えは、ある。 1→2→2/2→1/2→1/3→2/3→3/3→3/2→3・・・と、カギ状に少しずつ右へ下へと数えて行けばいいのだ。 数えることができる、ということは、一対一対応していると言える。つまり、有理数の濃度はアレフ・ゼロだ。

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だが、無理数はどうだろうか。 小数点以下無限の桁数を持つ無理数が、無限個あるのは既に感覚的にわかっている。だが、無限小数が無限個──なんだか一癖あるような気もする。 そこで、こんな考え方をしてみよう。

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まず、適当な無理数a1を考える。 0.6746413213474123...とでもしておこうか。これは今、俺が適当にテンキーを押して作った数であり、数字の後は無限にランダムな数字が続く。 a1の１桁目の数字は、６である。

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次にa2を考えよう。0.13476746463157343...これも条件はa1と同じだ。a2だから、２桁目を取ろう。この場合は、３だ。 このように無限個ある数字に対してa3は３桁目、a4は４桁目、akはk桁目、と対角線上に数字を取っていく。

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次に、aに対応する数字bを考える。適当に数字をあてがっても意味がないので、こんな変換をしてみよう。 「b1の一桁目は、a1の一桁目が0~4の時、5になる。5~9の時、1になる」。

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これを、b2の時は２桁目に、b3の時は３桁目に行う。 無理数は無限にあるので、この作業は永遠に終わることはない。a2の二桁目が３だから、b2は５。a3の三桁目が８だとしたら、b3は１となる。 こうして、akに対応する数字bkを取ることができた。

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さて、気付かれた方はいるだろうか。 a1であろうとa18419であろうと、akはbkと絶　対　に　一　致　し　な　い　のである。

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a1は「0.6746413213474123...」だから、bの一桁目は１に変わる。二桁目以降が完全に一致したとしても、「0.1746413213474123...」となる。

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a2は「0.13476746463157343...」なので、b2の二桁目は必ず５となる。どんなに一致しようと「0.15476746463157343...」以上に近づくことはない。