デンドロイドの生態

Takayuki Kihara @tri_iro

最近、TTE周辺の人が研究してて色々結果を出しているらしい連結選択が気になる。1次元連結選択は中間値の定理と同等だけど、2次元連結選択だともうちょい強くなって、3次元だと普通のΠ^0_1選択になるらしいとかなんとか。

Takayuki Kihara @tri_iro

2次元空間の単連結Π^0_1閉集合の問題を解けたような気がしたけど、微妙に詰めが甘かった。でも解けそうな気はする。

Takayuki Kihara @tri_iro

星型集合の問題は、星点が空間より次元が2以上低くないといけないけど、そうすると空間に対してだいぶ潰れてるので、コピーが連続体濃度個なきゃいけないはず。しかし、それで星点になるなんて可能なのかって感じなので、偽な気がするけど、いまいちよく分からない。

Takayuki Kihara @tri_iro

一般に再帰的なジョルダン弧のlocusは、PA-次数αについてΠ^0_1(α)-閉集合になるのか。逆にジョルダン弧のlocusがΠ^0_1(α)-閉だったら必ずその弧を再帰的に取れたら嬉しいなと思ったけど、一瞬で反例を思いついた。

Takayuki Kihara @tri_iro

予想：R^2のΠ^0_1-閉集合Cがあるジョルダン弧のlocusの部分集合になるなら、再帰的ジョルダン弧A:[0,1]→R^2とΠ^0_1集合 X⊆[0,1] が存在して、AのXへの制限のlocusがCに一致する、とかいう性質が成り立ってくれれば個人的に超嬉しいけどたぶん偽。

Takayuki Kihara @tri_iro

コッホ曲線の変種を考えれば反例を作れる気がしてきた。後で読む：Koch曲線とKoch島の計算可能性 http://ci.nii.ac.jp/naid/110002812259

Takayuki Kihara @tri_iro

【緩募】任意の直線との交点が空または連続体濃度であるようなR^2の単純曲線。非存在証明でもおｋ

Takayuki Kihara @tri_iro

自己レス。任意の直線との交点が｛空、一点、連続体濃度｝のいずれかであるようなR^2のジョルダン曲線の存在を確認。 RT @tri_iro: 【緩募】任意の直線との交点が空または連続体濃度であるようなR^2の単純曲線。非存在証明でもおｋ

Takayuki Kihara @tri_iro

証明は載ってないけど、情報元： T. Nishiura, and D. Waterman, "Intersection of Planar Curves and Straight Lines" (1962).

蟆 @patho_logic

@tri_iro どうやって証明するの？＞任意の直線との交点が｛空、一点、連続体濃度｝のいずれかであるようなR^2のジョルダン曲線の存在を確認．

Takayuki Kihara @tri_iro

証明が載ってるとおぼしき論文。でも、どうやってこれ入手するの。誰か持ってないかな：S. Mardesic, "Powers of intersections between Jordan curves and straight lines of the plane" (1955)

Takayuki Kihara @tri_iro

@patho_logic あ、存在すると主張する論文を確認しただけで、自分ではまだ証明できてないです。

Takayuki Kihara @tri_iro

うーん、やはりこの問題にチャレンジするには、もっと continuum theory の知識を身に付ける必要がありそうなので、読む ⇒ S. B. Nadler, "Continuum theory".

Takayuki Kihara @tri_iro

Continuum theoryの知識というか、デンドライトの知識が足りない！

Takayuki Kihara @tri_iro

ジョルダン曲線や単純曲線というか、 (circularly) chainable continuum の場合は、ある問題への反例が作れなさそうだと分かってきたので、デントライトさんくらいまで行けば反例が作れるのでは無いかという構想。

Takayuki Kihara @tri_iro

Chainableなco-r.e.集合が必ずΔ^0_1点を含むことの証明、最近あまりにも幾何学の感覚が薄れてきたせいで、大して難しくないのに読むのに苦労してしまった。

Takayuki Kihara @tri_iro

ロジック病をこじらせると「ユークリッド空間よりも、全不連結な完備可分距離空間の方が自然にイメージしやすい」などと意味不明な発言をし始めるので注意しましょう。あー、ユークリッド空間まじ意味分からん。

Takayuki Kihara @tri_iro

ユークリッド空間の話となると、たとえばR^2の内点を持たない単連結な集合で、任意の直線との交点が空または連続体濃度であるような例をそこそこ自在に作りたい（＋αの性質を幾らか持たせたい）くらいの話でも、一体どうやればいいか、いまいち感覚をつかめない。

Takayuki Kihara @tri_iro

なんか最近、直線との交点が異様な連結集合の話ばっかりしてますが、ちょいと気になる問題があって、それを解くために本当に知りたいのは、直線のみならず任意の計算可能な曲線との交点が異様になる連結集合なんですけど、そういうのは先行研究が無さそうなので、直線の話で色々捜索中。

Takayuki Kihara @tri_iro

「計算可能な単純曲線の像にならないΔ^0_1-弧が存在する」っていう定理は面白いなあ。「弧を描く」ことと「描いたものがたまたま弧になっていた」では全然違うということか。

Takayuki Kihara @tri_iro

簡単に解けそうな未解決問題があったからここ一週間くらいチャレンジしてたけど、そろそろ行き詰って打つ手が尽きてきたので、一旦この問題からは身を引こうかな。次はサブシフトをいじくりまわしたい気分。

Takayuki Kihara @tri_iro

あれ、continuum theoryに、デンドライトは高々可算個の分岐点しか持たないって書いてあるけど、カントール集合Cに対して、({0}×[0,1])∪([0,1]×C)ってR^2の相対位相でデンドライトじゃないの？

Takayuki Kihara @tri_iro

ここで、デンドライトとは、単純閉曲線を含まない非空コンパクト連結・局所連結距離空間のことである……って書いてて気づいたけど、局所連結って条件付いてたのかよ！ 誰だよ、デンドライトの定義に局所連結とか付けたやつ。

Takayuki Kihara @tri_iro

あれ、非空コンパクト連結距離空間がデンドライトであることと、任意の2点が第3の点で分離できることが同値って書いてあるけど、さっきの例ってどの2点が分離できないんだろ。

Takayuki Kihara @tri_iro

僕が求めていたのは、どうやらデンドライトではなくデンドロイドだったようである。ここで、デンドロイドとは、遺伝的ユニコヒーレント非空コンパクト弧状連結距離空間のこと。