集合論の無矛盾性と巨大基数

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@math32761 以上，大分長くなってしまいましたが，これが，僕が ZFC は無矛盾性だと感じている理由についての大まかな話です。

m h @math32761

@DaiskeIkegami ありがとうございます！とても参考になります！後者（歴史）については、説得力のある意見で、また今までの自分には無かった・知らなかった考え方なので非常に参考になりました。前者については、すぐには分からないのでちょっと考えてみます。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

矛盾に向かって突き進むことで無矛盾性を検証する，というアプローチは面白いしある程度有効だと思うけど，やっぱり間接的なところは否めない。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

もっと直接的で新しいconcistency claimの議論が出てきてもいいんじゃないかな，と思う。ペアノ算術を含む体系に対して有効で，計算機に載せることができない（ゆえにゲーデルの不完全性定理の適用範囲外となる）一方で，ロジックをやっている人たちが納得できるような，そんな議論。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

Consistency という概念に対して新しい物の見方を提示してくれるような，そんな議論。

m h @math32761

@DaiskeIkegami 質問すみません。「L を構成するには ZFC は必要なくて，二階算術の体系（例えば ATR0）で十分です。」の意味が良くわからなかったのですが、二階算術の体系でLを構成するというのは、どういう意味なのでしょうか？

m h @math32761

@DaiskeIkegami 自分のツイートを見返してみて、質問の意図を誤解されるかもしれないと思ったので、もう少し補足します。

m h @math32761

@DaiskeIkegami 二階算術の範囲で何らかの二項関係∈を構成しても、それが例えばZFCの公理を満たすことは二階算術からは証明できないので、Lを構成するの意味がよく分からないです。また、「Lが構成できる」というのは、Vは構成できないけどLは構成できるという意味でしょうか？

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@math32761 「二階算術の体系で L を構成する」というのは，二階算術の範囲で（ZFC を満たさない）弱い集合論のモデル V を構成し，そのモデル V の中で L を構成する，ということを意図しました。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@math32761 ここで構成されるモデル V は，「全ての集合は可算である」という命題を正しいと思っているので，特にZFCのモデルにはなっていません。しかし，L を構成するために必要な（Vの中の）集合上の定義可能性や超限再帰定義を展開するくらい強い集合論のモデルになってます。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@math32761 こうして構成された集合論のモデルLは，一般にはZFCのモデルとはなりませんが，先日挙げた二階算術の体系（分出公理をフルに仮定したものと「全ての実数の部分集合はルベーグ可測である」を二階算術でコードしたもの（以下Z2＋LM））の下ではZFCのモデルになります。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@math32761 もう少し補足させてください。まず，ZFC で仮定して考えてみると，任意の推移的可算集合（推移的閉包が可算な集合）は，自然数たちの間の関係でコードでき，とくに自然数からなる集合でコードできます。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@math32761 このようにして，自然数からなる集合全体（P(ω)）から推移的可算集合全体（H_{ω1}）への全射が定義できます。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@math32761 二階算術の十分強い体系では，このコーディングを展開でき，「推移的可算集合」のコードとなりうる自然数からなる集合を集めて，「推移的可算集合全体」と "同型" になる集合論のモデル V （二階算術におけるクラス）を構成できます。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@math32761 このモデル V の構成の仕方から，V が「全ての集合は可算である」と思っていることはすぐにわかります。そして，二階算術の十分強い体系では，V は，L を定義できるくらいに強い集合論のモデル（例えば Kripke-Platek 集合論のモデル）になってます。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@math32761 このように構成された L は一般には ZFC のモデルになりませんが，Z2＋LM から始めた場合は ZFC のモデルになってます。ここでの基本的なアイデアは，ZFC＋LM の仮定の下で，ω1 が L で到達不可能基数になっている，という定理に基づきます。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@math32761 そして，この定理の議論を補正したものを Z2＋LM で展開すると，この体系が H_{ω1} だと思っているモデル V の順序数全体が，V の中で定義された L において「到達不可能基数」のように見えていることがわかります。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@math32761 ここで，V の順序数全体は L の順序数全体でもあって，L は自分の順序数全体が「到達不可能基数」のように見えていることになるのですが，実は，これは L が ZFC のモデルであることと同じことを言っていることがわかります。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@math32761 よって，ここで構成された L は ZFC のモデルとなります。かなり雑ではありますが，これが，Z2＋LM の無矛盾性から ZFC の無矛盾性を示す議論の概要です。問題点・コメント・質問がありましたらお願いします。

m h @math32761

@DaiskeIkegami なるほど。大変によく分かりました。丁寧な解説、本当にありがとうございます。

m h @math32761

自分が無矛盾だと信じられるようなぎりぎりのラインを見極めたい。

m h @math32761

「矛盾に向かって突き進むことで無矛盾性について理解しようとする」のと「無矛盾を確信できないようなギリギリの範囲まで公理を弱めて、矛盾を探そうとする」のって、正反対の方向だけどなんか似ていると思った。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

集合論の無矛盾性について，以前 @math32761 さんとしたやりとりをまとめてみました。興味のある方はどうぞ：http://t.co/bTC0R4L4bl

ytb @ytb_at_twt

@daiskeikegami もちろん素朴な感覚の話（「太陽が東から昇る」みたいな）というのはよく分かるけど、相対的無矛盾性証明の対象の形式的体系の系列について、そのうちの一つが（メタ理論に関する議論なしで）絶対的に矛盾すると判明する状況って、ちょっと違和感を感じますね。