おかゆ雑多

おかゆ @oka_iu_tcan

集合というのは、中にいろんな物が詰まった単数のオブジェクトとして認識されるよね。たとえるなら、飴玉が10個入った1つの袋。袋みたいに実体はない、というのが違いだけど

おかゆ @oka_iu_tcan

plural logicはもうここから食ってかかるわけです。ひとつは「そんな仮想的なオブジェクトを設ける必要はないんじゃないか」というところからきます。

おかゆ @oka_iu_tcan

飴玉でたとえなおすなら、飴玉10個の話をするときにわざわざそれを袋に詰めなくてもいいじゃないか、ということです。

おかゆ @oka_iu_tcan

そもそもなぜ1つの袋にまとめたのかといえば、今までの集合論では、項(変項/定項)は必ず1つの個体しか参照しえなかったからです。なので、10個の飴玉について話したいときは仕方なく1つの袋にいれて、「10個の飴玉の入った袋」を参照していたわけです。

おかゆ @oka_iu_tcan

自然言語の点からも、この単数主義とでもいえる状況への懸念があるわけです。「そらとこしょんとセヴァンは様々な国からやってきた」の「と(and)」の解釈です。ひとまず単数主義的に捉えれば、この文は「そら、こしょん、セヴァンからなる一つの集合は様々な国からやってきた」となるわけです。

おかゆ @oka_iu_tcan

ひとつの集合が様々な国からやってきた？奇妙だ。もちろん、和文和訳によって単数主義集合論で書き表せられるまでこねくりまわすことはできるはずですが、私たちは別にこの文をこねくり回さなくても理解できるわけですから、もっとそれらしい論理のモデルがあるんじゃないか？もなるわけです。

おかゆ @oka_iu_tcan

散々オチは言っていますが、狙い所は単数主義です。すなわち、複数のものについて言及したいときにわざわざひとつの『袋』に詰めなくても、複数のものをそのまま項で表せるようにすればいいんじゃないか？もっと言えば、根本的に、項というのは複数のものを指すものだ、と定義してしまえばいいのでは？

おかゆ @oka_iu_tcan

そして、私たちが今まで指してきた「1つの個」というのはたまたま数が1である複数のものであり、その程度でしかないのでは、と。こうすると、述語論理的にも便利なわけです。「Xは様々な国からやってきた」はそのまま使えます。

おかゆ @oka_iu_tcan

これを採用するにあたって抜本的な思考の改変が必要となるのは集合論でいう包含関係と所属関係についてです。そもそも集合論は単数主義的なので、包含関係や所属関係というのはそれぞれ集合と集合、集合と要素という「個と個」の関係性です。これを「複数と複数」の関係に落としこみたい。

おかゆ @oka_iu_tcan

型とでも言えばいいのか分かりませんが、重要なことは、集合論では包含関係と所属関係はとる値の型が異なったので二つ定義しなければならなかったわけですが、複数項採用の下ではあるのは「複数項」のみですから、そのような関係性はただ一つ定義すれば十分なはずです。それをamongと名付けよう。

おかゆ @oka_iu_tcan

(これは「{a}とaは異なるものだ」というところから生じる話です。)

おかゆ @oka_iu_tcan

Mckay(私がこの説明の拠り所にしている本の著者)はこの関係をAと、ロジバンではme としているわけですが、ここでは一旦ロジバンは置いておくとして、Aで話をすすめましょう。ちなみに複数項は大文字で書くことになっているので、「X はYにamongだ」は XAYとかけます。

おかゆ @oka_iu_tcan

さて、このamong、操作上は集合論の包含関係とほとんど同じ。ただ、どちらかといえばamongのほうが私たちがイメージする包含関係に近いように私は思います。だって、集合論の包含関係は「個と個」の関係ですが、私たちはどちらかと言えば包含関係を「複数のものと複数のもの」の関係として

おかゆ @oka_iu_tcan

イメージしませんか？逆に、{a}とaが別物となることに違和感をもっていた人は集合論を勘違いしているということになります。私は勘違いしていたので、amongと包含関係の違いがわかりませんでした。

おかゆ @oka_iu_tcan

多分これはベン図が原因にあるんじゃないかと思います。いや、というよりは、ベン図で表せるあの直観的なイメージを、集合論はわざわざ回りくどく「個と個」の関係で表していた、と考えたほうがいいのかもしれません。

おかゆ @oka_iu_tcan

我々の直観としては、おそらくamongも⊂もそんなに変わりばえしないと思います。しかし、ここにはかなりの思考の変革が生じていることは意識すべきだと思います。もしかすると、複数論理の存在によって、集合論の姿が見えてくるようになるかもしれませんが。

おかゆ @oka_iu_tcan

ちなみに、集合は個ですから、だからこそそれを要素とした集合(族)が作れるわけです。集合は内部構造をもった個です。

おかゆ @oka_iu_tcan

まあ、しかし、反論はできて、内実、集合論と複数論理の違いは「{a}=a」とするかどうかだけとも言えます。さらに、仮想的な個を想定しないというのも、「複数のもの」という個を想定しているのでは？と言える。ですから、完全に優れたツールというわけでもない。研鑽中です。

おかゆ @oka_iu_tcan

まあでも、複数論理には「内部構造をもつ個」をあえて用意しなくてもよいわけですから、回りくどくないし、むしろ直観的でさえありうるのは確かです。述べませんでしたが、自然言語の分配性/集団性についても集合論より上手く扱えますから、ロジバンにとっては複数論理のほうが好都合なわけです

おかゆ @oka_iu_tcan

ひとつ、Mckayは複数定項を定義していなかった。でも、ロジバンでは定義している、という点でロジバンは先進的だし危なっかしい。

おかゆ @oka_iu_tcan

でも数学で複数項って使いにくそう。どうなんだろ？

おかゆ @oka_iu_tcan

plural termのもっとも集合と異なり、直観的な違いは空集合に相当するものが存在しないことかもしれないね: ∀X∃Y (YAX ∧ IY)

おかゆ @oka_iu_tcan

この公理が如実に、plural termは『袋』ではないことを表している気がする

おかゆ @oka_iu_tcan

集合論との互換性をもたせるために、「plural term X は、集合Sの要素のみとAである」というようなものが欲しい

おかゆ @oka_iu_tcan

集合はひとつのオブジェクト、ということで、集合論はその要素をまとめる型を用意してるってことなんだろうか。plural term は型ではない気もするんだよね。うーん。