むじかのソリトンのための微分方程式講座その２

音響物理学たん(音楽理論派) @soundofphysics

本日のテキスト２枚目 微分方程式における線形性は求まった解が線形性を有しているかどうかではなく、方程式そのものが線形性を有しているかどうかが問題となるわ。 pic.twitter.com/wTGrzzCX7X

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音響物理学たん(音楽理論派) @soundofphysics

これ、すごく分かりにくい…わよね。 ここの表現はうちも今でも迷いがあるところなんだけど…具体的なところから考察していきましょうか。

けみかたん@(化学/化学工学/生物) @chemica_tan

@soundofphysics さっき確認したのは一次関数の線形性、で今からやるのは微分方程式の線形性...。関数じゃなくて方程式の線形性。 ややこしく思う人はテキストの画像の先頭部分の文章を読むか、区切りのいいところで私たちに聞いてもらえばいいかと。

音響物理学たん(音楽理論派) @soundofphysics

テキストにある(4.1)式をまず考えて見ましょう。 これは2階線形微分方程式よ。 名前の通り線形性を有してるんだけど…。。。 詳しい事はちょっと後で話すね。

音響物理学たん(音楽理論派) @soundofphysics

(4.2)式 こちらは1階非線形微分方程式。 こちらは線形性を持ってないわ。 さぁ、この二つの式の違いは何かしらね？ @chemica_tan

けみかたん@(化学/化学工学/生物) @chemica_tan

@soundofphysics ここに出てくるのはf(x), (d/dx)f(x), {(d/dx)^2}f(x)、つまりfのn階微分ってことよね。 (4.1)はfのn階微分の一次式になっているけど、(4.2)は{df(x)/dx}^2 って入っているから、一次式じゃないね。

音響物理学たん(音楽理論派) @soundofphysics

そうね、関数に注目すると「関数の一次式か二次式か」と言う差があるわね。 ここで、たぶん「微分の階数は関係ないの？」と言う疑問を持った方は多いんじゃないかしら。

音響物理学たん(音楽理論派) @soundofphysics

結論から言えば、微分の階数は 「線形性に関係ない」わ。 具体例を出してみてみましょう。 テキストの(4.3)式以降を見ていただきましょう。

音響物理学たん(音楽理論派) @soundofphysics

任意の関数f(x)とg(x)を考えてその和をu(x)と言う関数としておいてみたわ。 このu(x)について1階微分で加法性と斉次性を確認したのが(4.4)式から(4.7)式よ。

音響物理学たん(音楽理論派) @soundofphysics

もう読めばほぼそのままなんだけど…。。。 これもけみかと一緒に確認してみましょうか。@chemica_tan

けみかたん@(化学/化学工学/生物) @chemica_tan

@soundofphysics テキストにあるのでu(x) = f(x) + g(x)なるu(x)の線形性は証明無しに使うよ。（時間ある人は証明しといてね） {du(x)}/dxに対して、xをx₁+x₂で置換してみますか...（下付き文字はUnicodeで表示しています）

けみかたん@(化学/化学工学/生物) @chemica_tan

@soundofphysics (4.4)左辺 {du(x₁+x₂)}/dx = d/dx{u(x₁)+u(x₂)} = du(x₁)/dx + du(x₂)/dx これは微分と積の順序が交換できるからできる、と。右辺も行きます。

けみかたん@(化学/化学工学/生物) @chemica_tan

@soundofphysics (4.4)右辺も左辺と同様に d/dx{f(x1+x2)}+d/dx{g(x1+x2)} = d{f(x1)+f(x2)/dx + d{g(x1)+g(x2)/dx} ∵f, gは線形性を満たすため もうちょい。

けみかたん@(化学/化学工学/生物) @chemica_tan

@soundofphysics d{f(x₁)+f(x₂)/dx + d{g(x₁)+g(x₂)/dx} = df(x₁)/dx + df(x₂)/dx + dg(x₁)/dx + dg(x₂)/dx 微分と足し算の順序も交換できるので、これで成立。 バラしただけだね。

けみかたん@(化学/化学工学/生物) @chemica_tan

@soundofphysics 斉次性もやりまーす。（粛々と）

けみかたん@(化学/化学工学/生物) @chemica_tan

@soundofphysics (4.3)式左辺 d{u(ax)}/dx = d{au(x)}/dx = a{du(x)/dx} ∵積と微分の順序が交換可能なため

けみかたん@(化学/化学工学/生物) @chemica_tan

@soundofphysics (4.3)式右辺 d{f(ax)}/dx + d{g(ax)}/dx= d{af(x)}/dx + d{ag(x)}/dx =a・d{f(x)}/dx + a・d{g(x)}/dx ∵積と微分の順序が交換可能なため よって成り立つ。

音響物理学たん(音楽理論派) @soundofphysics

（ざっくり原理的なことを言えば微分の作用に対しても加法性の基本性質である結合法則と斉次性の基本性質である分配法則が示せると微分の作用そのものが線形性を有している事が分かるのよね。）

けみかたん@(化学/化学工学/生物) @chemica_tan

@soundofphysics 交換法則とか結合法則とか分配法則って、普段当たり前に使っているけど、これらが成り立つ世界ってとてもありがたい状態よね...

音響物理学たん(音楽理論派) @soundofphysics

はい、けみか、お疲れ様♪厳密な証明ではないけれど「微分の作用自体がすでにある線形性を破壊しない様子」は見えたんじゃないかしら。そして、けみかの言うように「結合法則と分配法則が成り立つ世界」ってとっても計算しやすくて扱いやすいのよね。 @chemica_tan

音響物理学たん(音楽理論派) @soundofphysics

天下り的な話をすれば微分のような「何かに作用させるもの」にも「線形性」を論じる事ができるわ。線形性を有する作用素のことを「線形作用素」と言うわ。微分の作用素はその典型例ね。

音響物理学たん(音楽理論派) @soundofphysics

そして、この線形性があるということは計算がしやすい＝解析がしやすいと言う事でもあるの。これが線形性を判断する目的ね。

音響物理学たん(音楽理論派) @soundofphysics

【余談】twitter.com/chemica_tan/st…

けみかたん@(化学/化学工学/生物) @chemica_tan

@zatutan マニアックな世界が好きな方は四元数から八元数、十六元数、又は体、環、群、半群、モノイド、アーベル群、マグマ、圏...みたいな群論の話に旅立ってくださいね。

2014-11-03 21:16:36

音響物理学たん(音楽理論派) @soundofphysics

先ほどは微分の作用が線形性を破壊しない事を確認しました。 （もっと言えば微分自体が線形作用素であることも） これは階数を重ねても線形性は維持されたままなので、階数を気にする必要はこれでなくなったことになるわね。