神殺しへの挑戦とその数学的解説

V-alg-d（ZZ） @alg_d

神とはFrobeniusの事だったんだな。Neukirch「Frobenius自己同型が全てを支配する」

V-alg-d（ZZ） @alg_d

神が Artin map によって現世に召喚されるわけか。イデアル類群=神の具現化

V-alg-d（ZZ） @alg_d

リーマン予想が解ければ神に一歩近づけるということ。

相転移P @phasetr

http://bit.ly/ekfLcL alg_dさんが【神学的リーマン予想】とか何とか適当に論じてくれると期待している

相転移P @phasetr

http://bit.ly/ekfLcL 【リーマン予想が解ければ神に一歩近づけるということ】一応メモしておくと，Connesが非可換幾何的なアプローチでリーマン予想にアタックしているらしいので，ここから作用素環>量子統計・場の量子論>世界観3.0 のラインは存在する

V-alg-d（ZZ） @alg_d

冷静に考えるとリーマン予想が解けたからと言って類数公式に何か影響があるわけでも無い気がするがあまり気にしてはいけない。

V-alg-d（ZZ） @alg_d

要するにζ関数の留数を計算する事で神の輪郭が浮き彫りになるということ。

V-alg-d（ZZ） @alg_d

ζ関数の零点を強引に神の急所と解釈すれば、リーマン予想の系で神殺しが実現されるな。

相転移P @phasetr

http://bit.ly/hrobmE 【ζ関数の零点を強引に神の急所と解釈すれば、リーマン予想の系で神殺しが実現されるな】「1/2は半神半人を表す．これは神殺しつつも致命的弱点を抱えていたジークフリートを思い起こさせる．ここにドイツ英雄詩と数学の密接な関連が見いだせる」と妄想

V-alg-d（ZZ） @alg_d

実は、無限個あるパラレルワールドのうち、神殺しは殆ど実現されていて、残るは我々の世界だけなのさ。

@white_sep

神も事あるごとに殺されそうになって大変だよな

V-alg-d（ZZ） @alg_d

岩澤理論によって、十分先での神の動きはある程度計算されているので、"十分先"では我々にも分がある。

ふぇい @mythtic

神が生死の概念を気にしてると思ってる辺りが人間の限界

V-alg-d（ZZ） @alg_d

折角だからさっきの「神殺し」の数学的な真面目な解説でもしちゃう?

V-alg-d（ZZ） @alg_d

まず、「代数体」という体が有る。(「体」が分からない人はリタイアで…) これは有理数体Qの「有限次拡大」、要するに"あんまり難しくない複素数体Cの部分体"の事。これをKと書いておく。

V-alg-d（ZZ） @alg_d

代数体Kには「Hilbert類体」「絶対類体」と呼ばれる拡大(Lと書こう)がある。拡大L/Kはガロア拡大で、「Gal(L/K)はKのイデアル類群と同型」というのが類体論(のスタート?)なのだ。

@utmath

@alg_d し、死んだOTL

V-alg-d（ZZ） @alg_d

@utmath これは分からなくても(次以降の説明で)何とかなると信じています。

V-alg-d（ZZ） @alg_d

ガロア群Gal(L/K)というのは、要するにLの「自己同型写像」を幾つか集めた群のことで、イデアル類群と言うのは「イデアルを集めた集合」(←イデアルは掛け算が出来るから半群になる、実は群に出来る)を有る同値関係で割ったもの。

V-alg-d（ZZ） @alg_d

さてさっきの同型 Gal(L/K) = C ( := Kのイデアル類群 ) に戻るが、この同型 C → Gal(L/K) を与えるのが「Artin map」なのだ。

V-alg-d（ZZ） @alg_d

Artin map は具体的には [p] |→ ((L/K)/p) (これどう書きゃいいねん…) 、つまり「素イデアルp を含むイデアル類」 に 「pのFrobenius自己同型」 を対応させる写像だ。(もちろんwell-definedになることが示される。)

V-alg-d（ZZ） @alg_d

「Frobenius自己同型」が出てきたが、「Frobenius自己同型が全てを支配する」、つまりこれが神であるという事を思い出しておく。

V-alg-d（ZZ） @alg_d

よって、さっきのArtin mapによってFrobenius自己同型( = 神 ) がイデアル類群の中に対応させられるのだ。つまりイデアル類群が分かれば神が分かったも同然。

V-alg-d（ZZ） @alg_d

と言うわけでイデアル類群という群を調べて行きたい。と言うわけでまずこの群の位数( 大きさ )を調べてみる、という方向に行く。ちなみにこの数を「Kの類数」と言う。代数体の重要な定理に「類数は有限である」というのがあるので、この「類数」は自然数だ。