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じゅー
@yjjtw
Arhangel'skiiの不等式 その２ - yujitomoのブログ yujitomo.hatenablog.com/entry/2016/04/…
2016-04-09 22:13:08
Atsushi Yamashita
@yamyam_topo
大田先生の PDF「はじめよう Balogh's Dowker Spaces -Elementary submodel 入門- 」 www12.plala.or.jp/echohta/top/Do… もちろんこの題名は大田先生の教科書「はじめよう位相空間」から取ったものでしょう。
2016-04-09 22:48:40
Atsushi Yamashita
@yamyam_topo
Dowker space というのは単位閉区間 [0,1] との積が正規とならないような正規空間をいうが、Mary Ellen Rudin による最初の例は濃度が (ℵ_ω)^(ℵ_0) だった。これに対して Balogh の Dowker space は連続体濃度をもつ。
2016-04-09 22:58:25
Atsushi Yamashita
@yamyam_topo
Dowker 空間の例の構成は完全に集合論的トポロジーの領域だと思うが、もともとの動機は代数的トポロジーの黎明期にあって、S^n を値域とするホモトピー拡張定理での定義域についての技術的な仮定「X×[0,1] が正規」を「X が正規」に変えられないかという辺りだったようだ。
2016-04-09 23:04:57
じゅー
@yjjtw
Baloghという人は早死にで、BaloghのDowker空間はあんまり研究されてないらしいというのを2ヶ月か3ヶ月前くらいにどっかで読んだ
2016-04-09 23:50:25
じゅー
@yjjtw
エレサブを使って⊿システムレンマを示してみる。 Aを有限集合の非可算族として、反映定理で大きなH(κ)（κ>ω）をとってからA∈Mとなる可算なエレサブMをとる。Aは非可算Mは可算なのでx∈A\Mがとれて、r=x∩Mは有限集合。rを根とする非可算な⊿システムがあることを示す。
2016-04-10 20:17:54
じゅー
@yjjtw
φ(B,A,r)=B⊂A∧∀a,b∈B(a≠b→a∩b=r)∧∀a∈B(r⊂a) α={B:φ(B,A,r)}と置いたら{x}∈αなのでαの極大元B'がとれる（ツォルンの補題） ψ(B,A,r)=(Bはαの極大元)とおけば、 H(κ)|=∃Bψ(B,A,r)
2016-04-10 20:18:06
じゅー
@yjjtw
A,r∈M≪H(κ)なのでTarski-Vaughtで ∃C∈M(H(κ)|=ψ(C,A,r)) もしCが可算ならC⊂M。a∈Cならa∈M、aは有限集合でκ>ωなのでa⊂M∴r⊂a∩x⊂M∩x=r∴C∪{x}∈α∴Cの極大性に矛盾∴Cは非可算。よってCが求める⊿システム。
2016-04-10 20:27:08
じゅー
@yjjtw
なんか「絶対に間違ってる位相空間論入門」とか言って、まず簡単なモデル理論をさっと展開した後、位相空間の基本的な定理の証明に全部elementary submodelを使う、みたいなpdf誰か作って
2016-04-10 20:44:19
じゅー
@yjjtw
(1)位相空間Xは、任意の濃度ω_1以下の部分空間が第２可算ならば第２可算である。 (2)可算コンパクト空間Xは、任意の濃度ω_1以下の部分空間が距離化可能ならば距離化可能である。
2016-04-10 23:39:58
じゅー
@yjjtw
エレサブ、集合としてわけわからんから、例えばX∈MとなるようにMを取った時にX∩Mなどが閉やらなんやらというのが感覚的にわからなくて発想が見えない
2016-04-10 23:51:16
Atsushi Yamashita
@yamyam_topo
デルタシステム・レンマの初等的部分モデルを使った証明を読んでみたが、どうすればこういう議論を自然に思いつくの？というのが今のところの感想。
2016-04-17 14:48:48
ざん
@zhanpon
@yamyam_topo ご存知かもしれませんがKunen新版の3章8節はまるごとelementary submodelの手法を扱っていてこういう議論に慣れるのにいいかもしれん。
2016-04-17 16:13:58
Atsushi Yamashita
@yamyam_topo
@zhanpon Kunen の新しい本せ扱われているんですね。知りませんでした。情報ありがとうございます。
2016-04-17 16:23:31モデル理論っぽい集合論
Ikegami Daisuke
@DaiskeIkegami
@piano2683 強制法公理を満たす集合論のモデルは、ちょっと飽和モデルっぽいな、と思ったことがあります。
2016-04-08 23:22:38