f^-1と∪, ∩の交換と圏論について

V-alg-d（ZZ） @alg_d

例えば、右から直積する関手 -×X: Set→Set は左随伴だったから、余直積と交換する。Setの余直積はdisjoint unionなので、集合AとBのdisjoint unionをA+Bと書けば、(A+B)×X = A×X+B×X が分かる。

V-alg-d（ZZ） @alg_d

つまりこの場合、直積と余直積で「分配法則」が成り立つ。

V-alg-d（ZZ） @alg_d

同様にHom(X, -)は右随伴だから直積と交換し、Hom(X, A×B)=Hom(X, A)×Hom(X, B)である。これはHom(A, B)=「AからBへの写像全体」=B^Aと書くと (A×B)^X = (A^X)×(B^X) であり、「指数法則」ということになる。

V-alg-d（ZZ） @alg_d

さて、f^-1: P(A)→P(B) の場合に戻ると、この写像は実は関手になる。というのも、これは順序を保っているからである。(順序集合を圏とみなしたとき、順序集合から順序集合への関手とは、順序を保つ写像のことである)

V-alg-d（ZZ） @alg_d

そして、 f^-1 は右随伴かつ左随伴であることが分かる。つまり、 f^-1 は直積・余直積の両方と交換する!

V-alg-d（ZZ） @alg_d

つまり、さっきの f^-1(S∩T) = f^-1(S)∩f^-1(T), f^-1(S∪T) = f^-1(S)∪f^-1(T) は、f^-1 が左随伴かつ右随伴という定理のただの系なのである。

V-alg-d（ZZ） @alg_d

一方、 f は左随伴だけど、右随伴にはならない。よって余直積と交換すること( f(S∪T) = f(S)∪f(T) )は言えるけど、f(S∩T) ≠ f(S)∩f(T) は言えないのである。

V-alg-d（ZZ） @alg_d

(むしろ、f(S∩T) ≠ f(S)∩f(T) から、 fが右随伴とならないことが言える)

V-alg-d（ZZ） @alg_d

さて、f^-1: P(B)→P(A) が左随伴かつ右随伴になるということを示すためには、関手 F, G: P(A)→P(B) で、 「Hom(F(S), T)=Hom(S, f^-1(T))」 「Hom(f^-1(S), T)=Hom(S, G(T))」 となるものを

V-alg-d（ZZ） @alg_d

見つけなければならない。これはどうやったら分かるのか?

V-alg-d（ZZ） @alg_d

それはKan拡張から分かるのである #全ての概念はKan拡張である

V-alg-d（ZZ） @alg_d

まず、先の F が「fに沿った左Kan拡張」f†、Gが「fに沿った左Kan拡張」f‡、になることが、Kan拡張の定義からすぐにわかる。

V-alg-d（ZZ） @alg_d

そして、各点Kan拡張によりf†, f‡を計算すると、　 f†(S) = f(S), f‡(S) = B＼f(A＼S) となることが分かる。(f‡(S)は Sのsmall imageなどと言われるものらしい……)

V-alg-d（ZZ） @alg_d

こうしてまた全ての概念がKan拡張であることが分かってしまったのである。

V-alg-d（ZZ） @alg_d

今の話の証明を含んだ話は alg-d.com/math/category/ のKan拡張PDFに書いてある。