「数学科の（そこそこ以上の）人は数学の本を頭から読むことができる。……君たちは特殊な技能を持ったと考えるべきだ」
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ainsophyao
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Lucas KBYS
@lkbys
@uncorrelated fは S^1→[0, 1) ; f(x) = (θ+π)/(2π) ということでしょうか（もしそうなら、このfは不連続です）。はっきり定まる書き方がなされていないのでこの推定が合っているのか自信がありませんし、f''とgはもう少し説明していただかないと推定すらできません
2017-09-09 00:29:45
Lucas KBYS
@lkbys
「数学科の（そこそこ以上の）人は数学の本を頭から読むことができる。数学科では当然とされるが、外に出ればできない人ばかりだから、君たちは特殊な技能を持ったと考えるべきだ」とお師匠様がおっしゃったとき、ふーんそんなものかくらいに思ったものですが、確かにその通りなのですよ
2017-09-09 01:11:03
Lucas KBYS
@lkbys
だから数学系の学科でもないのに数学の本を読む人たちは、どうか、それが難しいことだと思ってほしいし、3行読めるごとに喜びを噛みしめてほしい
2017-09-09 01:13:51
Lucas KBYS
@lkbys
@uncorrelated 「円の直交座標を[-π, π)で定義される局座標への写像」がよくわからないのですが、それは S^1 から [-π, π) への写像ですか？
2017-09-09 02:31:46
Lucas KBYS
@lkbys
@uncorrelated （r=1と仮定して）上の図が S^1 から [-π, π) への写像、下の図が [-π, π) から S^1 への写像ということですね。この2つのうち、問題は上の図の写像です。これは連続ではないのです。ε-δでやってみましょう
2017-09-09 10:03:57
Lucas KBYS
@lkbys
@uncorrelated 写像は慣例に従ってargと呼ぶことにしましょう。つまり、x∈S^1 に対して、arg(x) は (cosθ, sinθ) = x を満たすθ∈[-π, π) のことです。arg(x) の、x=(-1, 0) における不連続を示します
2017-09-09 10:12:50
Lucas KBYS
@lkbys
@uncorrelated ε=π/3 とします。もしもargが連続なら、これに対してあるδ>0が存在して、| x' - (-1, 0) | < δ ⇒ | arg{x') - (-π) | < ε とならなければなりません。このようなδがとれるか？ という話です
2017-09-09 10:17:59
Lucas KBYS
@lkbys
@uncorrelated 任意の δ>0 に対して、δ' = min{δ, 1} と置き、この δ' に対して α=Arcsin(δ'/2) と置きます。このとき、(cos(π-α), sin(π-α)) は、(-1, 0) のδ-球の内部に入ります
2017-09-09 10:28:37
Lucas KBYS
@lkbys
@uncorrelated その一方、| arg( (cos(π-α), sin(π-α)) ) - (-π) | = | π-α + π | = 2π-α > 2π-π/6 = 11π/6 > π/3 なので、| arg( (cos(π-α), sin(π-α)) ) - (-π) | >ε です
2017-09-09 10:32:43
Lucas KBYS
@lkbys
@uncorrelated つまり、δに対して x' = (cos(π-α), sin(π-α)) と置くと、| x' - (-1, 0) | < δ かつ | arg(x') - (-π) | > ε となることが示されました。argは不連続です
2017-09-09 10:35:50
Lucas KBYS
@lkbys
「どうも相手は、連続の定義が分かっていなかった模様」と書かれており、素人さんからε-δがわかってないと認定される実績（何それ）を解除してしまったようです
2017-09-09 10:59:52
T H
@TH_scale
これはあれかな……素人さんには分からないと思うけど、云々とつけて、良く分からない数学の問題を書けば、解説してくれる流れなのかな……。
2017-09-09 13:29:38
Lucas KBYS
@lkbys
@uncorrelated (-1, 0) だけをそのように特別扱いすることはありません。写像が連続であるとは、その写像の定義域の全ての点において連続であることを言います
2017-09-09 15:28:24
Lucas KBYS
@lkbys
@uncorrelated 連続性の判定に、「全ての開集合の逆像が開集合」を用いるとどうか、それならargが連続と判定されるのではないか、ということですね。[-π, π) の位相はRの相対位相なので、[-π, θ) も [-π, π) の中では開集合です。相対位相は『多様体の基礎』ではp.31にあります
2017-09-09 15:40:48
{白,黒}のカピバラの左随伴右随伴
@ainsophyao
@uncorrelated > 「図が致命的に間違ってます」と言う御主張はまだ維持されますか？（他の部分、S⊂GLは大嘘だったりしますが） とのことですが、上の説明を聞いて、はじめに思っていた以上に根が深そうという感想を持ちました。
2017-09-09 23:57:19