「ZFCのモデル」についての会話

p進大好きbot大好きbot @von_archimedean

「集合って何やろ？」 　： 「公理的集合論っていうのを勉強すれば分かるんやな」 　： 「公理的集合論には述語論理っていうのが必要なんな」 　： 「述語論理は形式言語ってのの上で記述されるとな」 　： 「ふむふむ『形式言語とは記号の集合であって～』・・集合って何や！！！！」

Loveブルバキ(ラブル) @lovebourbaki

これについて、皆さんはどういう立場ですか？ twitter.com/von_archimedea…

Loveブルバキ(ラブル) @lovebourbaki

「形式言語は記号の集合〜」よりも、モデルの定義に集合を使うことの方が僕は混乱します。 ZFCのモデルってなんでしょう。個人的には問題を回避できますが、数理論理学での標準的なやり方が知りたいです。

dif_engine @dif_engine

@lovebourbaki 「集合全体の領域」を公理化したZFCのモデルそれ自体の定義に再び「集合」が出現していることにより，「話が循環してる」気がして混乱する，ということでしょうか？

Loveブルバキ(ラブル) @lovebourbaki

@dif_engine そうです。

dif_engine @dif_engine

@lovebourbaki あくまでも私の理解ですが：第一に「集合の世界」というのがアプリオリに存在し，その内部における諸関係がZFCの公理で記述されていると信じます．ここで使う述語論理は「自然言語と一体になった」ものです．第二に，アプリオリな集合の世界の上に，述語論理を形式化したものをつくります．（続く）

dif_engine @dif_engine

@lovebourbaki この形式的述語論理によって記述される可算無限個の公理に従う（アプリオリな集合世界における）Mを考えます．このM（Mの選び方が複数ある場合どのMを選んでも）アプリオリな集合世界を「とてもよく」記述していると信じることができます．（続く）

dif_engine @dif_engine

@lovebourbaki Mがアプリオリな集合世界と「満足行く程度には似ている」ことを「信じない」という立場もpossibleですが「なぜ信じないのか」「代わりにどのような立場を取るのか」ということについて説得力のある議論をするのはなかなか難しそうです．（続く）

dif_engine @dif_engine

@lovebourbaki 程度の差はあれ，（Mをどのように選んでも）Mがアプリオリな集合世界と「少なくともある程度は」似ていることはほとんどの人が認めている（あるいは特に対案がないから認めざるを得ない）と思います．（続く）

dif_engine @dif_engine

@lovebourbaki Mがアプリオリな集合世界と「どのくらい」似ているのかについて，最も素朴な立場では「どこまでも似ている」ということになると思います．「普通の」（この「普通の」が何を指しているかはさておき）数学をやっているとき，そのような素朴な立場で考えていることも多いように思います．（続く）

dif_engine @dif_engine

@lovebourbaki アプリオリな集合世界とそのモデルが「どれくらい異なりうるか」とか，「どれくらい異なったモデルが存在しうるか」ということを調べる場合も，とりあえずは（不定の）Mを背景におき，そのMを元にZFCの色々なモデルを作って調べるというような事をしているのだと思います．

dif_engine @dif_engine

自分が水槽の中の脳である可能性に気づいてしまった水槽の中の脳のイラストです。 pic.twitter.com/uexihVPLrJ

拡大

dif_engine @dif_engine

@lovebourbaki Mとアプリオリな集合世界が「そのまま同じ」であることはあり得るかという問題は，「水槽の中の脳は自分が水槽の中の脳であることを認識できるか」twitter.com/dif_engine/sta…　という問題と＜似ている＞と思います．素朴な立場では「認識できる」ですが，「認識できない」派が現在は優勢のようです．

Loveブルバキ(ラブル) @lovebourbaki

@dif_engine 「ここで使う述語論理は『自然言語と一体になった』もの」と「（Mの選び方が複数ある場合どのMを選んでも）アプリオリな集合世界を『とてもよく』記述している」という2点が特徴的で面白いと思いました。 モデル理論に戻ると、そこでのモデルはアプリオリな集合ということですね。

Loveブルバキ(ラブル) @lovebourbaki

@dif_engine 明快で循環していないことも分かりやすいです。 一方、僕がモデル理論の主張を見た時に疑問を持つのは、例えば、その結果はMの取り方に寄らないのかということです。本当に「Mの取り方に依らない」なら問題ないですが、普通の数学で「依らない」のか「依るときはそういう注釈をつける」のかどういう

Loveブルバキ(ラブル) @lovebourbaki

@dif_engine 立場なのかを明確に書いていないことが僕には不思議に思えます。 別の話。アプリオリな集合の世界は分からないですが、普通の数学で使う集合は「反復的集合観」で十分ではないかと思っています。なので、アプリオリな集合世界はZFCで記述できるというのは不必要に感じます。

Loveブルバキ(ラブル) @lovebourbaki

@dif_engine 例えば、DavisのApplied Nonstandard Analysis でindividualsからsuperstructureを作るところがありますが、そういう風に"集合ではないもの"も使うのが自然で、なんでも集合とみなして外延性の公理を使ってしまうのが良くないと感じます。

dif_engine @dif_engine

@lovebourbaki 「普通の」数学をやる範囲において，つまり例えば微積分だとか特定の可換環の話だとかを論じるにあたっては，おっしゃるように反復的集合観で「だいたいは」間に合うと思います．

dif_engine @dif_engine

@lovebourbaki 反復的集合観は，空集合から出発して，一連の原理に従って次々と集合が生成され累積しつつ成長した極限のようなものとして「集合全体」を描こうとしたものだと考えられます．しかしながら，（素朴な）反復的集合観をとった場合，たとえば「選択関数は存在するか」といったことに答えられません．

dif_engine @dif_engine

@lovebourbaki また，「ある集合生成の原理を認める／認めないということはいかにして判断されたのか？」という疑問に答えるのは難しいです．「集合がものの抽象的な集まりであることを徹底的に突き詰めれば決着がつくはず」と考えることもできますが，それはうまくいきません．

dif_engine @dif_engine

@lovebourbaki うまくいかないのは，我々は「集合」というものを実のところ「それは…である」と（素朴な意味で）定義することができないからです．

dif_engine @dif_engine

@lovebourbaki 二個のりんごから「ただ二つの元を持つ集合」を抽象化する程度で議論が割れることは（知る限り）ありませんが，そのようにして得られた「集合」が一体どこに存在するのかは，よくわかりません．（誰もが納得する答えはないと思われます）．

dif_engine @dif_engine

@lovebourbaki 一つの極端な考えは，「集合の世界というものが実際に（この宇宙と関わりなく）存在し，われわれの脳に（宇宙の外側から）物理法則の制約を超えて超越的に像を投げかけている」というものです．

dif_engine @dif_engine

@lovebourbaki このような立場は，それを検証する手段が最初から否定されているという理由により，哲学としてはまったく説得力がありませんが，「仮にそうだとすれば」集合全体についての唯一無二の解釈が存在するという希望を与えてくれます．

dif_engine @dif_engine

@lovebourbaki しかしながら，もしそのような極端な立場（神話的プラトニズム）を取ったとしても，われわれが言語を通じて数学活動を行っている以上，われわれが知覚しうる集合は「外宇宙の『集合そのもの』」ではなく，「脳によって解釈された『集合』」であるはずです．