エレン先生、相対論を教える

まとめました。
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KUMI_Kaoru @KaoruKumi

1)いきなりですがいかめしいお顔の白人男性です。ミンコフスキー教授です。アインシュタインが大学生だったときのお師匠さんです。教え子が今でいう特殊相対性理論を提唱したとき「あいつ数学苦手やったしわしがもっと整理したるわ」と腰を上げて、あるシンプルな方程式を見出した。 pic.twitter.com/i8tfwBD32u

2019-05-11 09:54:49
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KUMI_Kaoru @KaoruKumi

2)こういう式、見たことありませんか。 pic.twitter.com/HPdJCx4cCh

2019-05-11 09:57:59
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KUMI_Kaoru @KaoruKumi

3)ここにある「c」は光速と見なしていいわけですが、厳密には「情報をお届けする際の速度が、どんなことがあっても不変なものが、この世には存在する」ことを表したものです。(アルベルトははっきりそう定義しているし) しかしここでは深入りしないでとりあえず光速のことだよーんと割り切る。

2019-05-11 10:01:20
KUMI_Kaoru @KaoruKumi

4)で、先ほどの数式を絵にするとこんな感じです。赤の線分(の二乗)が「x^2+y^2+z^2」であることは、三平方の定理からすぐわかると思います。 それから「(ct)^2」のことでもあります。時間 t のあいだに光が ct 進む、その距離の二乗。 この二つが「=」でつながる…中学生でもわかる。 pic.twitter.com/k6GDvgTCB2

2019-05-11 10:08:20
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KUMI_Kaoru @KaoruKumi

5)そしてミンコフスキー時空の式は  x^2 + y^2 + z^2 - (ct)^2 = x'^2 + y`^2 + z'^2 - (ct')^2 なのですが、これ、何を語っているか皆さん語れるかな。

2019-05-11 10:16:31
KUMI_Kaoru @KaoruKumi

6)三平方の定理を復習してみましょう。  c^2 = a^2 + b^2 ここまではついてきていますね皆さん。 pic.twitter.com/okveLyQ3OB

2019-05-11 10:18:34
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KUMI_Kaoru @KaoruKumi

7)この式、こんな風にいじってもいいわけです。  c^2 - a^2 = b^2 つまり、一番長い辺が形作る正方形(図の紫部分)面積から、もうひとつの辺による正方形面積(図のピンク部分)を引くと、薄緑の面積と等しくなるよーと述べている式です。 pic.twitter.com/kjML54zjej

2019-05-11 10:22:04
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KUMI_Kaoru @KaoruKumi

8)ここで先の式(の左辺)を再見。  x^2 + y^2 + z^2 - (ct)^2 今度は三次元空間での直角三角形を思い浮かべてほしい。

2019-05-11 10:26:23
KUMI_Kaoru @KaoruKumi

9)この図でいうと、赤の線分(を辺にした正方形の面積)が「x^2 + y^2 + z^2」で 「(ct)^2」は、この図でいうと「z」とある辺(を正方形にした面積)のことです。 実はこの図にあるもうひとつの辺(「√x^2 + y^2」)を「(ct)^2」と解釈してもいい。 要は一番長い辺「以外」であればいいのだから pic.twitter.com/zfg6WwJ34R

2019-05-11 10:32:44
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KUMI_Kaoru @KaoruKumi

10)改めて下の式をご覧ください。  x^2 + y^2 + z^2 - (ct)^2 = x'^2 + y`^2 + z'^2 - (ct')^2 右辺は「’」がついています。この三次元図でいうと、座標軸がそれぞれ違う方角になった場合が右辺です。イメージできるかな? pic.twitter.com/vumQQaKHXv

2019-05-11 10:38:58
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KUMI_Kaoru @KaoruKumi

11)要はx軸、y軸、z軸の矢印が、この図にあるのより股が広がったり、もっと閉じたり、三本の足の長さが変わったりした場合、それをx’軸、y’軸、z’軸と新たに命名するわけです。

2019-05-11 10:40:13
KUMI_Kaoru @KaoruKumi

12)ああそれから「t」についても「t’」つまりダッシュ付になっていますね。三次元のこの空間座標が変わる(股の開きが変わる、各足の長さが変わる)とき、時間も伸び縮みするってことです。 まさに時空連続体。

2019-05-11 10:42:11
KUMI_Kaoru @KaoruKumi

13)しかし!この式をよくご覧ください。  x^2 + y^2 + z^2 - (ct)^2 = x'^2 + y`^2 + z'^2 - (ct')^2 これ「 c の長さが c' に変わり、a の長さが a' に変わり、そして b の長さが b' に変わっても、直角三角形であることは変わらない」と述べているのですよ。 pic.twitter.com/8ZCsDzAt4z

2019-05-11 10:46:24
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KUMI_Kaoru @KaoruKumi

14)項の数がひとつ違うのでちょっと混乱すると思うのですが、述べていることは同じです。三次元空間で考えても二次元空間で考えても三平方の定理は成り立つので、項の数の違いは本質にあらず、でございます。

2019-05-11 10:48:52
KUMI_Kaoru @KaoruKumi

15)xyzの各軸の股の広がり、各足の長さが変わっても、直角三角形は直角三角形のままですよーと、ミンコフスキーの式は訴えているのです。

2019-05-11 10:51:05

ここ、実はもうひとつ重要(というか新解釈のできる)点があるのですが詳しくは後日

KUMI_Kaoru @KaoruKumi

16)相対論を習いだした(というか独習でしたが)とき「空間と時間は等価」とあるのに、いざミンコフスキーの方程式を眺めると時間の項にはマイナスが付いているので「等しくないやん、差別やん」と思った。どなたもここで一回つまずくのではないでしょうか。

2019-05-11 10:53:17
KUMI_Kaoru @KaoruKumi

17)しかしこのように「直角三角形は座標軸が変わっても直角三角形のままな四次元空間」を数式で表すには四つの項のうちひとつはかならずマイナスにするのですよと考えれば、腑に落ちるのです。

2019-05-11 10:55:22
KUMI_Kaoru @KaoruKumi

18)ちなみに三平方の定理は二次元でも成り立つので  x^2 - (ct)^2 = x'^2 - (ct')^2 も成り立ちます。これはすぐイメージできると思う。

2019-05-11 11:07:57
KUMI_Kaoru @KaoruKumi

19)ああ、④では赤の線分が光の軌跡でもあると述べましたが、⑤以降は違いますよ。赤の線分はxyz軸に基づく三次元空間上の線分で、光の軌跡はこの三次元空間より突き出ている(つまり四つ目の軸に沿っている)わけだから。

2019-05-11 11:11:05
KUMI_Kaoru @KaoruKumi

20)うーん動画つまり簡単な線画アニメーションを使えば、一発で伝わるのですがツイッター+静止画ではどうしても読んでくださる皆さんが脳裏に線画アニメをイメージしてくださらないと伝わらないなー。

2019-05-11 11:12:56
KUMI_Kaoru @KaoruKumi

21)私が理系学部で相対論の講座を受け持つなら、何とか線画アニメを開発して、ここまで述べたように手際よくミンコフスキー時空を分からせて見せる、と思う。

2019-05-11 11:14:04
KUMI_Kaoru @KaoruKumi

22)ちなみにミン教授は、マックスウェル方程式を虚数の導入でどんどん簡略化していく途中で先の式のアイディアを閃いたようです。計算ごりごりやっていくうちに気が付いたのですね。だから今の私のように四次元空間の軸が変化しても直角は直角のまま…というわかりやすいイメージでは思考していない

2019-05-11 11:16:50

そして面白い視点がここから浮かび上がってきます。詳しくは後日。

KUMI_Kaoru @KaoruKumi

23)こういうのを「共変」(基軸が変わっても数式の形式は変わらない)と数学の世界では呼んでいます。しかし私にいわせれば「直角三角形が直角三角形の性質を失わない」わけです。(そしてこれは座標変換とは別次元のお話ですいうまでもなく)

2019-05-11 11:19:45
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