かけ算の順序 たちたくさんと塾講師たちとのやりとり

kistenkasten723 @flute23432

Ａ～Ｅの５人から２人が並ぶ方法はいく通り？という問題で、先頭にＡが来ると、２番手はＢ～Ｅの４人が考えられる。Ｂ～Ｅの４人が属す先頭Ａのグループを考えて１つ分とみなせば、先頭がＡ以外の場合も含めると、それぞれ構成員数が４のグループが５つできる。

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つまり、場合の数は、元来は、１つ分×いくつ分のかけ算には属さないが、しかし、１つ分×いくつ分というのは、潜在的には汎用性がある強力な考え方であって、場合の数にも適用可能なのである。長方形の面積でさえ、1cm^2の単位正方形のいくつ分で考えた。

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だから、小学校で学ぶかけ算と、場合の数のかけ算とは、本来は、不適合なのだが、矛盾する、というほどでもない。小学校では、場合の数にかけ算を使わないのは、不適合を避けるためというより、単純に、場合の数が、小学生にとって難しいからである。

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小学校では、かけ算は、小学生でも理解できる１つ分×いくつ分、基準量×割合のような非対称的な関係として学ばれる。

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４個入りキャンディが３袋で全部でいくつ？のような、同数グループ型の文章題は低学年でも正答率が高いが、アイスの４味とカップの大中小の組合せの数を求める文章題は、正答率が低学年では著しく低く、高学年になっても高くならず、場合の数（直積）はかけ算の導入には不適切である。 pic.twitter.com/94EKso4q39

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Lynne-Outhred, "Representations of Multiplicative Word Problems", Conference Proceedings 1995 of the Mathematics Education Research Group of Australasia, 1995; p. 436 merga.net.au/Public/Publica…

kistenkasten723 @flute23432

高校に入って積の法則を学ぶときには、すでに、文字式の導入で１つ分×いくつ分の順序というのは無効になり（a円の消しゴム４個の代金は4a円）、また、〈因数×因数〉の対称的なかけ算も学習済みである。かけ算の式を算数で教わった順序で書くことを求められることは、もはやない。

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高校では、だから、繰り返し使わない順列であれば、与えられた数値から出発する通常の慣習に従って、大きい順の階乗で求めるのである。

kistenkasten723 @flute23432

小学校では場合の数にかけ算を使わないし、高校では場合の数をかけ算で求めるが、算数のかけ算の順序は、効力を失っている。だから、そのあいだの不適合が問題になることは、事実上、ない。

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かけ算自由派カルトのもっとも攻撃的な実行部隊である定数氏が、順序派に「場合の数はかけ算ではどう求めるのか」と問うのは、巧妙な策略であって、普通なら起きないその不適合を人為的に惹き起こして相手を混乱させよう、という狙いなのである。

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（補足） 冒頭の栗田氏のツイートは、定数氏と教育学部の学生である断沢氏との論争を機縁になされた。 twitter.com/oo92keykidscla… #掛算 #超算数 #算数 #算数教育 #かけ算 #かけ算の順序 #場合の数

たちたくさん @oo92keykidscla1

クソペン先生。 理不尽なのも多いけど、かける数とかけられる数の順番は文章読解を兼ねているから割と大事だと思う。 算数はそーゆーもん。 数学は知らんけど(;￢_￢)

2019-08-26 16:07:57

kistenkasten723 @flute23432

論争は、「かける数とかけられる数の順番は文章読解を兼ねているから割と大事だ」という断沢氏のツイートに、定数氏が数学警察を気取って凸ることで始まる。断沢氏は、指導要領を根拠として、被乗数×乗数の型を与えることで、立式しやすくなる、としている。

kistenkasten723 @flute23432

「（※３×４のアレイ図のように）イメージしている子にとっては、3×4と4×3を区別することはナンセンスだと思いますが」という定数氏に反応に対して、断沢氏は、「イメージしてる物は、みかんのはずですよね？」と効果的に反論。

kistenkasten723 @flute23432

「聞かれている単位のものを先にしています」と断沢氏は言っている。これは単位のサンドイッチと呼ばれるもの。１つ分×いくつ分、基準量×倍の非対称なかけ算しか出てこない算数の段階では、被乗数×乗数の順に式を書くことにすれば、結果としてそうなるだろう。

kistenkasten723 @flute23432

定数氏はいつもの通りに、ABCDから２つの文字列を並べる方法の問題を答えさせる。場合の数に使われるかけ算は、１つ分×いくつ分ではなく、因数×因数の掛け算である。この掛け算では、単位のサンドイッチは成り立たない。

kistenkasten723 @flute23432

断沢氏は、「最初に5つの文字から1つの文字を選ぶのが5通り残りの文字から4通りという風に理解して計算していた」と述べて、１つ分×いくつ分ではなく、高校のときに習った5P2、立式した。

kistenkasten723 @flute23432

「今回の考え方は5通り×4通りで5×4でいいのではないでしょうか？樹形図等具体物で考えた場合は4×5です」「5P2なんて小学生では扱いませんし」と述べていて、断沢氏は、２つのかけ算の違いを認識している。

kistenkasten723 @flute23432

定数氏が勘違いしているのはここだ。定数氏は、小学校教師や教育学部学生は、かけ算には小学校で習う１つ分×いくつ分の一種類しかないと思い込んでいる単純な人間だ、と決めてかかっている。

kistenkasten723 @flute23432

定数氏は、１つ分×いくつ分でかけ算が教えられているところを見て、１つ分×いくつ分がすべてのかけ算の構造だと教えられていると、と勘違いしている。かけ算の順序は書式として設定されてるだけなのに、かけ算の性質とてして教えられている、と勘違いしているのである。

kistenkasten723 @flute23432

だから、１つ分×いくつ分が正しいとしたら、文字の並べ方の問題の式は、4×5になるはずだと指摘して、定数氏は、断沢氏の一貫性のなさを指摘したつもりになる。「「5×4は誤り」としないと整合性がありません。」

kistenkasten723 @flute23432

しかし、断沢氏は、そもそも、小学校で習うかけ算が高校で習う積の法則にも当てはまるとは考えてない。だから、単位のサンドウイッチを、文字の並び方の問題に使わなかった。断沢氏は高校で習ったやり方で立式し、解いたのである。

kistenkasten723 @flute23432

１つ分×いくつ分ははあくまで、小学校で習うかけ算なのである。断沢氏は単位のサンドイッチが成り立つ１つ分×いくつ分のかけ算と、場合の数に使われるかけ算の違いを理解している。たしかに、場合の数は小６で学ぶが、かけ算の式はまだ使わないのである。

kistenkasten723 @flute23432

「たちたくさんは、単位のサンドイッチをルールだと思っているわけで」 断沢氏は、ルールだと思っていると私も思うが、しかし、ルールにはそれが有効な範囲がある。単位のサンドイッチのルールは、算数でのみ、１つ分×いくつ分のかけ算にのみ有効である。

kistenkasten723 @flute23432

だから、高校で習うような文字列の問題には使えないし、断沢氏は事実、使わなかった。

kistenkasten723 @flute23432

論争は、論争と呼べるようなものではなく、定数氏の一方的で偏屈な思い込みのためにすれ違いに終わってしまっている。これまでも、教育学部の学生が何度も定数氏の餌食になってきたが、断沢氏は、誠実に答えて、彼の攻撃をかわしたと言えると思う。