一橋大の数学（2000年代。2000年～2009年まで）入試問題・過去問コレクション

東大レベルの受験勉強たん(東レベたん) @大学受験生・高校生・中学生・浪人生向け学術たん @Todai_Exam_Tan

＜ #一橋大数学の過去問 ＞ a は実数とし， C1: y＝f(x)＝x^3 ＋ a x^2 － 8 a^2 x C2: y＝g(x)＝3 a x^2 － 9 a^2 x とおく。 (1) C1とC2の共有点Pにおいて 両方の曲線と接する直線が存在する。 このときPの座標をaで表せ。 (2) 下図参照 (2004年 一橋大学 入試問題) pic.twitter.com/lF7I9Sutxa

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＜ #一橋大数学の過去問 ＞ a, b, c は整数で a＜b＜c を満たす。 y＝x^2 上の3点 A( a, a^2 ) B( b, b^2 ) C( c, c^2 ) (1) ∠BAC＝60° とはならないことを示せ。 √3が無理数であることを用いてよい。 (2) a＝－3のとき ∠BAC＝45° となる組 (b,c) を全て求めよ。 (2004年 一橋大学 入試問題)

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＜ #一橋大数学の過去問 ＞ H を1辺の長さが 1 の正六角形とする。 (1) H の中にある正方形のうち， 1辺が H の1辺と平行なものの 面積の最大値を求めよ。 (2) H の中にある長方形のうち， 1辺が H の1辺と平行なものの 面積の最大値を求めよ。 (2004年 一橋大学 入試問題)

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＜ #一橋大数学の過去問 ＞ AとBの2人があるゲームを繰り返し行う。 1回ごとのゲームで AがBに勝つ確率はp BがAに勝つ確率は1－p n回目のゲームで初めてAとBの双方が4勝以上になる確率をx_n (1) x_n を p と n で表せ。 (2) p＝1/2 のとき，x_n を最大にする n は? (2005年 一橋大学 入試問題)

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＜ #一橋大数学の過去問 ＞ a は定数。 f(x)＝x^2－3 g(x)＝－2(x－a)^2 ＋ a^2 / 3 (1) 2つの放物線 y＝f(x) と y＝g(x) が 2つの共有点を持つような a の範囲を求めよ。 続きは下図参照 (2005年 一橋大学 入試問題) pic.twitter.com/j2HXJRLBrs

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＜ #一橋大数学の過去問 ＞ 0°≦θ＜360° 正の整数m f_m (θ)＝Σ{k＝0→m} sin( θ ＋ 60°×k ) (1) f_5 (θ) を求めよ。 (2) θ が 0°≦θ＜360° を動くとき f_4 (θ) の最大値は？ (3) m がすべての正の整数を動き θ が 0°≦θ＜360° を動くとき f_m (θ) の最大値は？ (2005年 一橋大学 入試問題)

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＜ #一橋大数学の過去問 ＞ 原点を中心とする半径1の円C A(a,0) ※0＜a＜1 B(b,0) ※b＞1 N(0,1) A,Nを通る直線がCと交わる点P B,Nを通る直線がCと交わる点Q (1) Pの座標をaで表せ (2) AQ//PB のとき AN・BN＝2を示せ (3) AQ//PB, ∠ANB＝45° のとき aを求めよ (2005年 一橋大学 入試問題)

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＜ #一橋大数学の過去問 ＞ k は整数であり， 3次方程式 x^3 － 13x ＋ k ＝ 0 は3つの異なる整数解をもつ。 k とこれらの整数解を全て求めよ。 (2005年 一橋大学 入試問題)

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＜ #一橋大数学の過去問 ＞ 1,2,3,4 が1つずつ記された4枚のカードから 1枚を抜き出し元に戻す という試行を n 回繰り返す。 抜き出した n 個の数の 和を X_n 積を Y_n とする。 (1) X_n ≦ n＋3 となる確率をnで表せ。 (2) Y_n が8で割り切れる確率をnで表せ。 (2006年 一橋大学 入試問題)

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＜ #一橋大数学の過去問 ＞ a,bは正の定数。 y＝x^3－ax のグラフと， 点( 0, 2b^3 )を通る直線は ちょうど2点P,Qを共有。 Pのx座標は負 Qのx座標は正 Oは原点 (1) 直線PQの方程式は? (2) PおよびQの座標は? (3) ∠POQ＝90°となるbが存在するような aの値の範囲は? (2006年 一橋大学 入試問題)

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＜ #一橋大数学の過去問 ＞ 大きさがそれぞれ 5, 3, 1 の平面上のベクトル ↑a, ↑b, ↑c に対し ↑z＝↑a＋↑b＋↑c 以下の各場合に |↑z| の最大値と最小値は? (1) ↑a, ↑b, ↑c を動かす時 (2) ↑a を固定し ↑a・↑z＝20 を満たすように ↑b, ↑cを動かす時 (2006年 一橋大学 入試問題)

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＜ #一橋大数学の過去問 ＞ 平面上に1辺の長さが2の正三角形ABCがあり ⊿ABCの重心は原点 BCは x 軸と平行 Aは y 軸上の正の部分にある Cの x 座標は正 直線 y＝x に関しA,B,Cと対称な点A', B', C' (1) C' の座標は? (2) ⊿ABCと⊿A'B'C' が重なる部分の面積は? (2006年 一橋大学 入試問題)

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＜ #一橋大数学の過去問 ＞ 次の条件(a), (b)をともに満たす直角三角形を考える。 斜辺の長さp その他の2辺の長さはq,r (a) p,q,rは自然数で,そのうち少なくとも2つは素数 (b) p＋q＋r＝132 (1) q,rのどちらかは偶数である事を示せ。 (2) p,q,rの組を全て求めよ。 (2006年 一橋大学 入試問題)

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＜ #一橋大数学の過去問 ＞ 1が書かれたカードが1枚， 2が書かれたカードが1枚， …， nが書かれたカードが1枚の 全部でn枚のカードからなる組がある。 この組から1枚を抜き出して 元に戻す操作を3回行なう。 下図の設問に答えよ。 (2007年 一橋大学 入試問題) pic.twitter.com/qNtbJJWC9R

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＜ #一橋大数学の過去問 ＞ a を定数とし， f(x)＝x^3－3ax^2＋a とする。 x≦2 の範囲で f(x) の最大値が 105 となるような a をすべて求めよ。 (2007年 一橋大学 入試問題)

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＜ #一橋大数学の過去問 ＞ 放物線C: y＝ax^2＋bx (a＞0) C上の異なる2点 P, Q について その x 座標をそれぞれ p, q (0＜p＜q) とおく。 原点をOとする。 下図の設問に答えよ。 (2007年 一橋大学 入試問題) pic.twitter.com/QkTgwfYw8y

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＜ #一橋大数学の過去問 ＞ a_1＝2 a_(n+1)＝4a_n b_1＝3 b_(n+1)＝b_n＋2a_n c_1＝4 c_(n+1)＝c_n / 4＋a_n＋b_n H_n: y＝a_n x^2＋2 b_n x＋c_n (1) H_n はx軸と2点で交わることを示せ。 (2) H_n とx軸との交点をP_n, Q_nとする。 Σ{k＝1→n} P_k Q_k を求めよ。 (2007年 一橋大学 入試問題)

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＜ #一橋大数学の過去問 ＞ m を整数とし f(x)＝x^3＋8 x^2＋m x＋60 とする。 (1) 整数 a と，0ではない整数 b で f( a＋bi )＝0 を満たすものが存在するような m をすべて求めよ。 ※ i は虚数単位 (2) (1)で求めた全ての m に対して， 方程式 f(x)＝0 を解け。 (2007年 一橋大学 入試問題)

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＜ #一橋大数学の過去問 ＞ n を 3 以上の整数とする。 2n 枚のカードがあり， そのうち 赤いカードの枚数は 6 白いカードの枚数は 2n－6 これら 2n 枚のカードを，箱Aと箱Bに n 枚ずつ無作為に入れる。 下図の設問に答えよ。 (2008年 一橋大学 入試問題) pic.twitter.com/KJzbxxA9b6

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＜ #一橋大数学の過去問 ＞ 正四面体OABCの1辺の長さを 1 とする。 辺OAを 2:1 に内分する点をP 辺OBを 1:2 に内分する点をQとし， 0＜t＜1 を満たす t に対して 辺OCを t : 1－t に内分する点をRとする。 (1) PQの長さは? (2) ⊿PQRの面積が最小となる t の値は? (2008年 一橋大学 入試問題)

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＜ #一橋大数学の過去問 ＞ a を正の実数とする。 点 ( x, y ) が，不等式 x^2 ≦ y ≦ x の定める領域を動くとき， つねに 1/2 ≦ (x－a)^2＋y ≦ 2 となる。 a の値の範囲を求めよ。 (2008年 一橋大学 入試問題)

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＜ #一橋大数学の過去問 ＞ 3次方程式 x^3 ＋ a x^2 ＋ b x ＋ c ＝ 0 は異なる3つの解 p, q, r をもつ。 さらに， 2 p^2－1 2 q－1 2 r－1 も同じ方程式の異なる3つの解である。 a, b, c, p, q, r の組を全て求めよ。 (2008年 一橋大学 入試問題)

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＜ #一橋大数学の過去問 ＞ k を正の整数とする。 5 n^2－2 k n＋1＜0 を満たす整数 n が， ちょうど 1 個であるような k をすべて求めよ。 (2008年 一橋大学 入試問題)

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＜ #一橋大数学の過去問 ＞ 2 以上の整数 m, n は m^3 ＋ 1^3 ＝ n^3 ＋ 10^3 を満たす。 m, n を求めよ。 (2009年 一橋大学 入試問題)

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＜ #一橋大数学の過去問 ＞ X, Y, Z と書かれたカードが それぞれ1枚ずつある。 この中から1枚のカードが選ばれたとき xy 平面上の点Pを ある規則に従って移動する。 下図の設問に答えよ。 (2009年 一橋大学 入試問題) pic.twitter.com/nBse2OdUcB

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