深夜の数学講座　水野先生編　（計算における単位の概念）

MIZUNO Yoshiyuki　水野義之 @y_mizuno

@Satsuki_1963 抽象化とは、共通する性質を抜き出す、看取する。あぬ犬、この饅頭、どちらも、数は１。でも、１なんて、どこにもない。一般化された犬はいないし、饅頭一般なんて、存在しない。イデアの世界。でも、考えることはできる。数の一般化。関係の一般化。など。

Satsuki_Y @Satsuki_1963

@y_mizuno この場合、その具体的な「もの」が帯びている属性を徹底的に削り落として記号化する＝抽象化、という理解でよろしいでしょうか？

MIZUNO Yoshiyuki　水野義之 @y_mizuno

@Satsuki_1963 そうですね。抽象化の背後にある、具体的な要求を、学生さんには、出来るだけ話すようにしてます。なぜ抽象化したか。言葉、自然言語、でいうと等。最後には、物理の方程式には心がある。などとなりますが(笑)。数学者も物理現象にはヒントが見えるらしい。

MIZUNO Yoshiyuki　水野義之 @y_mizuno

@Satsuki_1963 数とは。まず具体的表象を削ぎ落とす。その性質は演算できること。まず自然数は足し算できる。負の数は引き算で常に解があるように。小数は割り算で常に答えがある。無理数も、虚数も、２次方程式で常に解があるように一般化。だから抽象化にもいろいろな段階がある？

Satsuki_Y @Satsuki_1963

@y_mizuno 今夜「÷」の謎を解いていただいて、そもそもの問題の根源が判ったような気がいたします。どうもありがとうございました！

MIZUNO Yoshiyuki　水野義之 @y_mizuno

@Satsuki_1963 私も少し、整理されました。ありがとうございました！とにかく、この年齢になってみると、「教育」の不備のようなものがいろいろ見えてくるので、改善を試みてます…。今夜は、（やはりというか）算数に問題の根源があることに気付いた次第…。

Satsuki_Y @Satsuki_1963

@y_mizuno 「理系の学問」というより「概念（観念？）を操作する」という意味で哲学に近いような気がしてきました。それなら出来る「かも」しれませんｗ

MIZUNO Yoshiyuki　水野義之 @y_mizuno

その理解で結構だと思います。なぜこれで計算できるのか。例えば量子力学では、掛け算の順序で結果が変わる数（非可換な代数）が出て来ます。でもそれも自然がそうなっていたから。だから一般化し、その法則性を研究。@Satsuki_1963 「概念（観念？）を操作する」という意味で哲学に近い

MIZUNO Yoshiyuki　水野義之 @y_mizuno

@Satsuki_1963 数学でも物理でも、抽象的な何かの意味を考えるとか、意味の意味論を考えるという要素を含むので、哲学的に見えるかもしれません。でも数学は、その抽象世界の想像力を論理的整合性で判定するし、物理では自然が真偽を判定してくれます。決して思弁やこじつけではない。

MIZUNO Yoshiyuki　水野義之 @y_mizuno

黒木先生のご指摘は、普遍的一般論の重要性だと思います。例えば掛算の順序は入れ替え可能とか。でも単位に関するご主張自体は　https://t.co/eFwt71Gu　のように私と同趣旨と思う。@Satsuki_1963 横目で拝見していましたがまた判らなくなったような気がします…。

MIZUNO Yoshiyuki　水野義之 @y_mizuno

@Satsuki_1963 それで黒木先生　https://t.co/3Zn7Y9uG　の「普遍的な「単位」と言語依存の「助数詞」の違いに無頓着な点はよろしくないと思った」はその通りで、私が　X÷Y　の説明で微妙に逃げた部分。その方が分かりやすいと思ったから。でも見事に指摘^^

MIZUNO Yoshiyuki　水野義之 @y_mizuno

@Satsuki_1963 さらに黒木先生の「等分除と包含除の区別を単位と結び付けているのも誤り」との指摘で、X個÷Yと書いたのが等分除、X個÷Y個を包含除というそうですが、確かに、個というのは曖昧な言葉。X個÷YをY個の箱に入れると思うと、X蜜柑個÷Y箱個となって後半と類似。

MIZUNO Yoshiyuki　水野義之 @y_mizuno

@Satsuki_1963 つまり私は「個」という助数詞の意味的自由度を逆用して、割り算の自然言語理解を、意図的に誘導し、違い部分を強調しました（理解の違い説明のため）。でも黒木先生は最終的には、それらは同じ結果であることの理解が重要なので、個の扱いの悪用、との指摘は当然ですね。

MIZUNO Yoshiyuki　水野義之 @y_mizuno

@Satsuki_1963 そういうわけで、割り算での「X個÷Yが等分、X個÷Y個がその中に幾つ含まれるか」は、等分除と包括除の区別の段階だから、理解の途中段階。最終的には両者区別のない抽象世界に解脱が必要。その途中で私は個という曖昧な助数詞を持ち出したが最終的には不要なのだよ。

MIZUNO Yoshiyuki　水野義之 @y_mizuno

@Satsuki_1963 続）この黒木先生の指摘は正しい。でも私の意図は最初の「X÷Yの計算は、XをY等分せよなのか、Xの中にYが幾つ含まれるか数えよなのか？小学校の頃から謎」というご質問で、それは両者の区別の世界なので、区別する説明をわざとした。で、それに噛み付かれました^^

MIZUNO Yoshiyuki　水野義之 @y_mizuno

@Satsuki_1963 そういうことから、今回の「頭を柔らかくしないと」というのは、理解にはいろいろな段階があるので、今はどの段階の、どのレベルの説明であるかを、区別しなさい、というほどの意味に理解しておけばよいのでは？　　以上、混乱が再度、整理されれば幸いです。

Satsuki_Y @Satsuki_1963

@y_mizuno ああ…ぼやいてしまってすみません、ご説明ありがとうございます。いえ、私、TLでどなたかが対話なさっているのを拝見する場合、必ず両方のTLを並べて読むようにしているので、…あちらさまのトランプを配るのが掛け算の辺りで疑問符の嵐の中で遭難いたしまして＾＾；

Satsuki_Y @Satsuki_1963

@y_mizuno わたし専用の説明をしてくださった部分について、一般論（私がまだ理解するところまで行っていないもの）を述べておられるとして、「この説明はおかしい」と仰有ったということでよろしいのでしょうか＾＾；

Satsuki_Y @Satsuki_1963

朝から掛け算と割り算について考え込んでいたら「割り算が理解出来たら何かいいことがあるのか？昼飯が美味くなるとでもいうのか？」ともっともなクレームがついたので当面諦めることにする。

MIZUNO Yoshiyuki　水野義之 @y_mizuno

はいそういうご指摘だったと私は理解。その後のやりとりからも。@Satsuki_1963 わたし専用の説明をしてくださった部分について、一般論（私がまだ理解するところまで行っていないもの）を述べておられるとして、「この説明はおかしい」と仰有ったということでよろしいのでしょうか＾＾；

MIZUNO Yoshiyuki　水野義之 @y_mizuno

これは「６人に４個ずつ柿を配る。全部で何個？」を自然言語で理解する場合、4[柿]/[人]×6[人]=24[柿]でよいし、6[柿]/[トランプ的１周]×4[トランプ的１周]=24[柿]でもよい。@Satsuki_1963 「トランプを配るのが掛け算の辺りで疑問符の嵐の中で遭難」

MIZUNO Yoshiyuki　水野義之 @y_mizuno

@Satsuki_1963 ですから黒木先生は、「６人に４個ずつ柿を配る。全部で何個？」を小学校では、4[柿]/[人]×6[人]=24[柿]だけが正解で、6[柿]/[トランプ的１周]×4[トランプ的１周]=24[柿]の計算を間違いだと指導するが、それは変とのご主張。でそれは正論。

MIZUNO Yoshiyuki　水野義之 @y_mizuno

@Satsuki_1963 なぜ正論か。なぜ小学校でも両方が正解か。その理由を黒木先生は6×4でも4×6でも同じ答えになることを、式の形の上で指導するなら、式の自然言語的理解でも、両方の理解があるべきと。水野流には数の計算と単位（助数詞）の計算は分けると、却ってよく分かる事例…。

MIZUNO Yoshiyuki　水野義之 @y_mizuno

@Satsuki_1963 以上で、今回の割算理解を含む算数教育で何が問題とされ、何を背景としていて、現状の小学校での躓きの原因がどこにあると、数学者は考えるか。物理学者はそれを、数字の意味を適当に読み替えて（笑）どう切り抜けるか。そして最終的に何をどう理解すべきか。ご理解可能？

MIZUNO Yoshiyuki　水野義之 @y_mizuno

@Satsuki_1963 私は試行錯誤でそれを発見しましたが、その一つが、物理的な単位（次元と呼ぶ）のない場合も、この「個」を単位のように使うと、よく分かるという発見。正式には個とか人は助数詞。@私 「水野流には数の計算と単位（助数詞）の計算は分けると、却ってよく分かる事例…」