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たま＠なら
@tama_nara
@y_bonten 先ほど簡略なつぶやきでごめんね。群Gに対して加法+による群(G,+)あるいは乗法•による群(G,•）とは？どういうことでしょうか。で、可換群(G,○）を考えてみると可換群はどうなるでしょうか、あたりを整理してみると見えてくるかも。。
2012-09-26 12:37:25
たま＠なら
@tama_nara
少し整理して見えてくることがあります。群とは？あたりを足し算、掛け算という演算で考えてみてくださいね @y_bonten " @tama_nara ご親切にありがとうございます。考えてみます。 "
2012-09-26 15:35:00
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
例えば関数の合成なんかを、僕らはどうして加法ではなく乗法っぽく感じるのだろう？交換則が成り立たないから？作用を「かける」感じがするから？そもそも可換じゃないけど「加法っぽい」演算ってあるかな。
2012-09-26 15:53:22
MarriageTheorem
@MarriageTheorem
@y_bonten すぐに思いついたのは順序数どうしの足し算ぐらいでした。＞可換じゃないけど加法っぽい
2012-09-26 16:07:38
ジョージ
@Kiriyama_George
@y_bonten 作用する側とされる側に非対称性がある場合、乗法のようなものと認識されるのかと思います。例えば実数の積は可換ですが「500mlのペットボトルが5本」の500と5は単位が違いますよね。一方足し算では普通は次元の同じ量同士しか足し合わせませんね。
2012-09-26 16:16:35
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
@MarriageTheorem @Kiriyama_George ありがとうございます。結局は作用「する側」「される側」と呼びうること自体、何らかの「異質感」に依って立つということですね。あるいは素朴な加法・乗法との類似性など。
2012-09-26 16:39:12
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
@MarriageTheorem @Kiriyama_George ただ、その違いが必ずしも可換性の是非とは一致しないわけですね。異質感が強いほど非可換になりそうな傾向はあるとしても。順序数の加法も、もともとは可換だった自然数の加法を拡張したら非可換になっちゃった感がありますね。
2012-09-26 16:39:43
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
あぐぐぐぐぐぐぐぐぐぐ！しかも工夫すれば群が作れる！さてこれを加法群と呼んでよいかどうか？ RT @ta_shim_at_nhn: @y_bonten 文字列の連結とか。
2012-09-26 16:46:04
MarriageTheorem
@MarriageTheorem
自然数の加法、「左手の物と右手の物をガッと一か所にまとめる」素朴な理解だと明らかに可換だけど、一方でa+bをS(S(…S(a)…)) （S()は後続数、Sが全部でb個）と定義する方法だと可換性は明らかとは言い難い。プリミティブかつ可換性が明らかな加法の定義って何かありましたっけ。
2012-09-26 16:56:06
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
@MarriageTheorem 実際、可換性の証明はタイヘンですものねぇ（殿下の本で読んだばかり）。
2012-09-26 16:59:18
MarriageTheorem
@MarriageTheorem
@y_bonten @ta_shim_at_nhn 私は文字列の連結は「積」という印象を受けていますが、文字列の連結を「順序集合の連結」の一種だと考えると順序数の和の定義とあまり差が無いので、こちらも「和」と呼ぶのも悪くないかもしれないなぁとふと思いました。
2012-09-26 17:00:18
MarriageTheorem
@MarriageTheorem
@y_bonten はい、基本的な性質にもかかわらず、実際に証明するのは存外骨が折れるのですよね。
2012-09-26 17:02:06
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
可換性の証明が大変なのは、公理がA(a,0)＝a, A(a,s(b))＝sA(a,b)というふうに最小限に切り詰められていて、可換な形で与えられていないからなのだろう。公理を冗長に用意すれば（A(0,a)＝a, A(s(a),b)＝sA(a,b)も入れれば）楽でしょうね、たぶん。
2012-09-26 17:14:00
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
で、きっと公理の片方を逆に書くと、基本的な性質が示せないのだろうと勝手に推測しているが、確認したことがない。
2012-09-26 17:14:47
@tenapi
@y_bonten 帰納法の道が二本になると可換性は明らかかもしれないけど、値が矛盾なく定まることの証明を別にしなければならなくなって、手間として変らないのではないでしょうか？
2012-09-26 17:16:29
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
@tenapi うああ、なるほど。あれ？すると現行の公理でも本来はwell-definednessを確認しないといけないのでしょうか？
2012-09-26 17:21:05
@tenapi
@y_bonten 足し算を2変数函数として定義するとき帰納法が走る変数は一方だけで、もう一方は帰納法が走ってる間ずっと固定されている「パラメータ」です。パラメータが固定されている以上、値が一意に定まることは再帰的定義の一般論から出てきます。
2012-09-26 17:23:41
@tenapi
@y_bonten いっぽう、交換法則を証明するということは、帰納法の変数とパラメータの役割を入れ替えても値が変わらないことを保証しようとしているわけです。
2012-09-26 17:24:15