「０の次の数」から「割り算」までの定義

ソモソモロン（短歌×論理） @daikeiAZP

今から【「０の次の数」から「割り算」までの定義】というテーマで連続ツイートします。後でtogetterにまとめますので、ご意見ご感想はコメント欄にお寄せ下さい。合計２４ツイートあります。TLを占拠してしまうと思いますが、たまになので許していただきたいです。

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１）大学とかで数学を勉強した経験がないと、足し算、引き算、掛け算、割り算の定義を意識することはないだろう。別に意識しなくても生活はできるが、あいまいなままだと「アレ？９÷０っていくつだっけ？」ということになりかねない。

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２）そこで今回は、足し算、引き算、掛け算、割り算の定義を、数学を専門で勉強したことがない人にも、分かりやすいように説明します。「定義」という言葉に慣れていない方は「意味」のことだと思って下さい。

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３）物質は分子からできていて、分子は原子からできていて、原子は原子核と電子からできている。これと同様に、計算も細かい単位に分解することができる。計算の一番細かい材料は、「０」と「の次の数」という２つの言葉だ。

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４）２つ材料があると、組み合わせたくなってくる。「の次の数０」では意味が分からない。でも「０の次の数」は意味が分かる。これは１のことだ。「１」は「０の次の数」を省略した呼び名、ということ。同様に、全ての自然数は「０」と「の次の数」で表すことができる。

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５）「２」は「０の次の数の次の数」のこと。「３」は「０の次の数の次の数の次の数」のこと。「４」は「０の次の数の次の数の次の数の次の数」のこと。「５」は「０の次の数の次の数の次の数の次の数の次の数」のこと。

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６）このように「の次の数」をつなげることによって自然数がどんどん作られていく。この話は数学的にはペアノの公理と呼ばれる。「の次の数」ではダサいので、正確には、後者と言ったりsuccessorと言ったりして、「aの次の数」を「suc(a)」で表す。

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７）足し算は「の次の数」を繰り返す処理として定義される。３＋２は、「３の次の数の次の数」という意味。３は「０の次の数の次の数の次の数」なので、３＋２は「（０の次の数の次の数の次の数）の次の数の次の数」となる。だから３＋２＝５。

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８）自然数ａとｂがあるとき、両方とも「０」と「の次の数」だけで書き表し、ｂの方の先頭の「０」を削除し、ａの後にｂをくっつけることを、「ａとｂを足し算する」と呼び、記号ａ＋ｂで表す、というのが足し算の定義。

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９）続いて引き算。引き算の定義には「逆演算」という言葉が必要だ。逆演算はその名の通り、「逆の演算」ということ。では、演算とはどういう意味だろう。演算は「ゴニョゴニョする」ということだ。

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１０）最初に３という数字があって、３を何かしらの処理でゴニョゴニョする。「３を声に出して叫ぶ」も演算だし、「３が書かれた紙で鼻をかむ」も演算。でも、これら２つの演算をほどこしても３は３のままなので、面白くない。

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１１）ただ、「２を足す」という演算は３を５に変えてくれるので、考えがいがある。「２を足す」は３を５に変える演算。じゃあ、その逆の５を３に変える演算もありそうだ。実際あるので、５を３に変える演算を「２を引く」と呼ぶことにする。

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１２）もっとちゃんと定義すると、ａ＋ｂ＝ｃが成り立つとき、記号「－」を使って、ｃ－ｂ＝ａとする。というのが引き算の定義。ｂを使ってａをｃに変えちゃうのが足し算なら、ｂを使って逆にｃをａに変えちゃうのが引き算。引き算は足し算の逆演算。

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１３）「０」と「の次の数」だけで数を作っていくと、０より大きい整数しか作れない。だから、３－５とかの答えが用意できない。それでは困ってしまうので、３－５を表す数を作ってしまおう。それは一般的には「－２」と呼ばれている。

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１４）「－２」という数字を「３－５の答えとなる架空の数」と定義してみると、「ー２は３－５の答えというだけではなく、ひょっとして４－６の答えでもあるんじゃないか？」という気がしてくる。でも気がするだけではダメ。これは証明しないといけない。めんどくさいので今回は証明しないが。

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１５）今回は厳密な数学の話をするのが目的ではなく、数学の基礎的な話をなんとか軽い感じで説明するのが目的なので、細かいところは省略します。順番として「０」と「の次の数」⇒自然数⇒足し算⇒引き算⇒負の整数、と定義されていくのだけ分かっていただければ満足です。

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１６）続いて掛け算。掛け算は足し算の繰り返し演算。５×３＝５＋５＋５。ａ×ｂは、ａをｂ回足し算することで定義される。足し算は「の次の数」の繰り返しだったので、掛け算は「の次の数」の繰り返しの繰り返し。

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１７）最後に割り算。割り算は掛け算の逆演算として定義される。５×３＝１５は、まず５があって、その５に対して３を使ってゴニョゴニョすると、あら不思議、１５になってしまう！という操作。これに対して、最初１５だったものを３でゴニョゴニョして５にするのが割り算。

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１８）今までで準備していた正の整数と負の整数だけだと、２÷４の答えがない。そこで、「０．５」という新しい数を定義する。すると、０．５は２÷４の答えというだけでなく、３÷６の答えでもあるんじゃないか？という気がしてくるが、やっぱりこれも証明が必要。

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１９）まとめ。「０」と「の次の数」から自然数が定義され、「の次の数」の繰り返しとして足し算が定義され、足し算の繰り返しとして掛け算が定義される。

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２０）足し算の逆演算として引き算が定義され、答えがない引き算のために負の整数が定義される。掛け算の逆演算として割り算が定義され、答えがない割り算のために小数・分数が定義される。

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２１）「繰り返し」「逆演算」「新しい数の定義」ということを文系の方々は意識することがないだろうけど、その辺りが数学の本質的なところだと思います。それを感じとってくれたら嬉しいです。

ソモソモロン（短歌×論理） @daikeiAZP

２２）今回は皆さんに数学への興味を持っていただくために、正確性よりユーモアを重視しました。数学的に正確かどうかはあやしいです。「３が書かれた紙で鼻をかむのも演算」の辺りが特に（笑）。正確な定義については検索して調べて頂きたいです。

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２３）個人的には「正確かどうか」ということよりも「どういう考え方で導き出すか」の方が数学の本質的なところだと思っています。定義そのものを積極的に変えてしまう「一般化」という発想も数学にはありますし。合成関数を関数の積とみなす、みたいな。

ソモソモロン（短歌×論理） @daikeiAZP

２４）「一般化」についてはまた別の機会にまとめます。これを読んで頂いたかたがた少しでも数学に興味を抱いて頂けたら嬉しいです。ご意見ご感想をtogetterのコメント欄でお待ちしております。【終】