複素平面の基礎

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

続き。これで、複素数の掛算を複素平面で解釈してやると、複素数の掛算は「原点からの距離を掛け合わせ、x軸の正の方向とのなす角度については足し合わせる操作」であることがわかってしまいました。続く

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

続き。複素数zw=rs(cos(θ+φ) + i sin(θ+φ))に対応する平面上の点は(rs cos(θ+φ), rs sin(θ+φ))です。原点からこの点までの距離は rs でx軸の正方向から角度 θ+φ 反時計まわりにまわった方向にこの点はあります！続く

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

続き。 練習問題：以上の状況で、 zw=rs(cos(θ+φ) + i sin(θ+φ)) が成立することを示せ。 略解：三角函数の加法定理を使えばよい。がんばって計算してみて下さい。 解説：実は上の練習問題の公式の幾何学的意味がものすごく重要。ここが最重要点。続く

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

続き。すると三角函数の定義から、(x,y)=(r cos θ, r sin θ)、(u,v) = (s cos φ, s sin φ) となります。対応する複素数の方では z=r(cos θ + i sin θ)、w=s(cos φ + i sin φ) となっています。続く

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

続き。r=√(x^2+y^2)、s=√(u^2+v^2)です。x軸の正方向と原点から(x,y)へのベクトルのなす角度をθと書き、同様に(u,v)に関する角度をφと書くことにします。以上の状況を適当に図に描いた方がわかりやすいと思います。続く

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

続き。面白いのは複素数の掛算と三角函数の加法定理の関係です。以下、z=x+iy, w=u+iv (x,y,u,vは実数)とおき、対応する平面上の点(x,y),(u,v)を考えることにします。原点から(x,y)までの距離をrと、原点から(u,v)までの距離をsと書きます。続く

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

続き。たとえば複素数1+i√3は平面上の点(1,√3)の別の書き方だと思うことにするわけです。もっと露骨に書けば1+i√3=(1,√3)だとみなすわけです。1+i0=(1,0)、0+i1=(0,1)になる。しかし、こういう露骨な書き方をすると混同しやすいので以下では控えます。続く

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

ツイッターで複素平面について講義。複素数と三角函数の加法定理と座標平面については知っていることを仮定。複素数 z=x+iy (x,yは実数)と平面上の点(x,y)を同一視すると、平面は複素数全体で構成されていると思えます。そのときその平面を複素平面と呼びます。続く

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

@v_solid ぼくの今日の連ツイでも強調したように複素平面の導入は自明で大した話じゃないです。そして、 [cos θ - sin θ] [sin θ cos θ] の形の行列について勉強していれば、複素平面の回転もすぐに理解できます。複素平面は大したことないです。