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ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【Henle】で、先に順序数同士の和と積を、順序型の恩恵に与りつつ定義する。しかし何なんだこの図は。さっぱり分からん。順序数αとβから、α∪(1×β)という集合を考え、適切に順序を入れると整列順序集合になる、ということらしい。
2014-10-24 17:06:06
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【Henle】はじめ(1×β)ってなにかと思ったが直積だな。1は{0}のこと。こういうのは具体例で考えたほうがいい。α＝5,β＝3なら、{0,1,2,3,4,<0,0>,<0,1>,<0,2>}。今書いた順に順序を定義すれば整列するわけだ。
2014-10-24 17:06:56
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【Henle】要するにβの要素をαの要素の後ろにそのまま並べるための目印として順序対が用いられているだけで、ほかにもいろいろ方法はあるのだろう。いずれにせよ、書かれているとおりに順序を定めれば整列することは直感的には明らかだが、一応きちんと証明する必要がある。
2014-10-24 17:07:27
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【Henle】これ、αやβが順序数であることは忘れて大丈夫だな。整列集合同士で同じように作れば整列する。そこに∈固有の議論は無い。また全順序同士で作れば全順序になることも、整礎性とは独立に議論できる。
2014-10-24 17:07:52
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【Henle】いや待てよ、α,βが順序数でなく単に整列なだけだと、αと1×βがdisjointだという保証が無くなってしまう。例えばα＝{<0,0>,<0,1>,<0,2>},β＝{0,1,2,3,4}。αは順序数3と同型、βは5と同型なのに、和は8でなく5と同型になってしまう。
2014-10-25 10:31:50
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【Henle】さて順序数の足し算だが、交換則は成り立たず、例えば1＋ω≠ω＋1。このあたりは詳しい議論が省略されていて、結論だけ知ってイメージしてくださいという感じ。
2014-10-26 11:49:45
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【Henle】p70では「0番から始まるスロットに箱を置いて、最初の空のスロットの番号を読む」という喩え話をしてくれているが、正直、いちばん大事なところはこの喩えでは分からなかった。「少し考えるとω番のスロットには箱が置かれてないことが分かる」ってんだけど、分かりましぇん。
2014-10-26 11:51:59
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【Henle】「ω番のスロットは空」というのは、1＋ωを考えるときね。0番スロットに箱を入れて、さらにω個の箱を入れた場合。いやヒルベルトホテルなんかでイメージできてるから結果は受け入れられるんだけど、この説明では分からない、という。
2014-10-26 11:53:41
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
@y_bonten 1＋ω＝ωのほうだけ都合よく納得するために引き合いに出すのはまずいのか、という意味で
2014-10-26 12:00:10
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
んんー、そもそもヒルベルトホテルは基数のたとえ話であって、客が1人でもω人でも「全員部屋移動」で解決するわけで、1+ωとω+ωを区別できないですね。順序数の個々のケースで解釈を当てても不毛かもなぁ。
2014-10-26 15:44:46
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
@y_bonten 偶然0∈P(N)になっちゃったね。a∈{a}∈{{a}}だがa∈{{a}}でない、といった例にすべきだった。
2016-02-01 18:54:40
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
@y_bonten twitter.com/y_bonten/statu… 【Henle】KunenFoundationsを読んでようやく知ったが、(半)順序をなすとは限らない一般の関係Rについて、￢∃z∈X[zRy]のとき「yはXにおいてR-極小」と呼ぶらしい。
2016-02-02 01:59:39
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
【Henle】p67とp119のヒントと解答にちょっと異議あり。任意の集合（族）Aに対して正則性公理から∃b∈A[￢∃c∈A[c∈b]]を導いておくのはいいんだけど、このbはあくまで「もしもAが∈-全順序集合の部分集合なら、Aの最小元になる」という代物。
2014-10-02 16:55:44
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
@y_bonten この語法に従うなら、正則性公理から「任意の集合は∈-極小元を持つ」と言える。しかし「最小元」という語は、やはり全順序をなすことを示してから使うべきだ。
2016-02-02 02:00:37
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
@y_bonten この定義は半順序における極小概念の拡張になっているように見えるが、反射的な半順序集合の部分集合が極小元を持っても、それを「R-極小」とは呼べなくなるな。無反射的な関係だけを視野に入れた拡張だ。
2016-02-02 15:27:03
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
@y_bonten だから、これを使って整礎性を定義してしまうと、整礎性が無反射性を含意してしまうことになる。別に困らんけどさ。ぶつぶつ。
2016-02-02 15:27:58
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
@y_bonten このときからいろいろ学んだけど、順序数の集合論的コーディングはひとつしか知らずじまいだな。整列集合と超限再帰を用いた方法でも結局同じ実体になる。
2016-02-03 13:14:23
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
Henle本における順序数の議論は、正則性公理（基礎の公理）を仮定している一方で、正則性公理がなくとも通用する順序数の定義（∈で整列している推移的集合）を採用している、とのことだった。
2016-02-03 18:35:19
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
@y_bonten しかし、そもそも「∈」の無反射性や反対称性は正則性公理に依存している（と思う）。順序数の性質に関する定理の証明で正則性公理を用いた箇所を、用いずに書き直すには、これら∈の性質を使うわけにはいかない。本当にそんな書き換えが可能だろうか？
2016-02-03 18:36:13
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
@y_bonten 例えば、「αが順序数ならα∪{α}も順序数」ということを言いたければ、αの要素だけでなくα自身が自己に属さないことを言わなければならない。αは∈整列集合だから、αの要素については大丈夫だが、￢α∈αを正則性公理なしで示せるようには思えない。
2016-02-03 18:36:45
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
@y_bonten むっ、α∈αだと、α＝α∪{α}になって、αが順序数なら確かにα∪{α}も順序数だ。おもてたんとちがうーー！！
2016-02-03 20:26:14
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
ありがとうございます。ヒントを生かさずに結論を出してしまったので、なにか見落としている気がします。"@ta_shim_at_nhn: 順序が狭義の順序で定義されていることと、推移性が使えるというのがミソです。"
2016-02-03 21:31:53
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
@y_bonten ああ！α∈αだと、αの∈無反射性（αの要素であって自己に属すものはない）に反するじゃないか！
2016-02-03 22:34:12