一般相対論は、紙1枚で理解できる

アインシュタインが一般相対論を出して、今年で100周年。空間を2次元にしたモデルでは「時空の曲がりが重力を生み出す」という話も、割と簡単に。
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Masahiro Hotta @hottaqu

アインシュタインが一般相対論を提出した時から100周年の今年。「一般相対論って、なに?」という問いが巷で話題かと。(単なる期待)

2015-04-03 18:43:02
Masahiro Hotta @hottaqu

実は一般相対論は空間を3次元ではなく、2次元にしたモデルでみると簡単。結局「フラットランド多次元の冒険」のような世界を実現する。ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95…

2015-04-03 18:45:27
Masahiro Hotta @hottaqu

紙を一枚持ってくる。紙の内部の世界はflatlandのように平らなため、図の赤い線のように、2本の直線を平行に書き出すと、ずっと交わることはない。これを、この2次元世界の中を運動する粒子の軌跡と思おう。 pic.twitter.com/r8c6bYRILM

2015-04-03 18:52:23
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Masahiro Hotta @hottaqu

一般相対論のアインシュタイン方程式を、このフラットランドで考えることができる。その解をみると、物質が存在しない場所は曲率が零の平坦な空間のままであるが、物質(エネルギー分布)がある場所ではその空間が曲がってしまう。

2015-04-03 18:54:40
Masahiro Hotta @hottaqu

例えば点状の重い粒子がフラットランドにあるとしよう。するとその粒子を重力源として、その場所を頂点にする円錐形に世界が曲がってしまう。時空曲率はその頂点だけ非零で、それ以外の場所では零(つまり局所的には平坦のまま)である2次元世界。 pic.twitter.com/WdBwZIcOyx

2015-04-03 18:58:29
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Masahiro Hotta @hottaqu

この円錐にハサミを入れて切り裂くと、図のように元の紙の一部を切り取った世界になっている。簡単のために図では切り取られた部分の角度を90度にしてある。図のように、もういちど境界をくっつけると、先の円錐に戻る。 pic.twitter.com/1fEmRQdU9w

2015-04-03 19:01:14
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Masahiro Hotta @hottaqu

一般相対論は重力を幾何学で理解する理論。点粒子は実は各瞬間にはただひたすら「真っ直ぐ」空間を走っているだけだが、時空自体が曲がっているため、いつのまにか重力を受けたように、図のように平行だった2本の粒子の軌跡が交わるようになる。 pic.twitter.com/eTQ5bGaT89

2015-04-03 19:04:34
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Masahiro Hotta @hottaqu

この図の赤い線で運動の軌跡が表される粒子は質量やエネルギーが無視できるくらい小さな試験粒子(テスト粒子)という設定。一方円錐の頂点には重い粒子があって、空間を曲げている。

2015-04-03 19:06:06
Masahiro Hotta @hottaqu

境界を張り付けて、もう一度円錐にしたのがこの図。頂点の粒子が空間を曲げるため、平行に出発した赤い線の2つの粒子はちょうど頂点粒子に重力で引っ張られたように運動して軌道が交わる。しかし前の展開図で分かるようにこの2つの線は、実は直線。 pic.twitter.com/hV1f8aYkAO

2015-04-03 19:10:07
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Masahiro Hotta @hottaqu

このように時空の曲がりが真っ直ぐ進んでいるだけの粒子に重力として働くというのが一般相対論。重力は幾何学で理解できる。図のように重力源があちこちに分布していれば時空の曲がりも複雑になるが、それを記述するのがアインシュタイン方程式。 pic.twitter.com/y9tDtHZNJn

2015-04-03 19:14:04
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Masahiro Hotta @hottaqu

なお少し専門的なことだけど、このフラットランドを記述する宇宙項のない3次元アインシュタイン重力理論にブラックホール解は存在しない。しかし負の宇宙項をいれると、BTZブラックホール解というものが作れる。

2015-04-03 19:17:57

コメント

⛅タオール @amitaworu 2015年4月4日
何!理解できるのか! と思ったら自分の基礎教養が足りないことだけわかった。
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墓所の陰にて @kafukanoochan 2015年4月4日
「ブラックホールの蒸発」がわかりません。 1.よくある説明(BHに片割れの粒子が落ち込む)であれば、BHは、ますます重くなるだけだと思うのです。 2.「量子情報と時空の物理」のp130に「時空曲率からエネルギーをもらって」とありますが、   光の経路が曲がる→制動輻射がおきる と思っていいでしょうか?
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Masahiro Hotta @hottaqu 2015年4月4日
@yamamorimeshi 力足らずですみません。どの辺りで躓かれました?
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Masahiro Hotta @hottaqu 2015年4月4日
@kafukanoochan 「よくある説明(BHに片割れの粒子が落ち込む)であれば、BHは、ますます重くなるだけだと思うのです」これは負のエネルギーの粒子がBHに落ち込むので、BHが軽くなるのです。 「「量子情報と時空の物理」のp130に「時空曲率からエネルギーをもらって」とありますが、光の経路が曲がる→制動輻射がおきる と思っていいでしょうか」もの凄く強い電場を作ると、その電場のエネルギーを使って粒子の対生成ができるのと同じです。量子場の真空が不安定になって、その結果粒子を作るのです。
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墓所の陰にて @kafukanoochan 2015年4月4日
そうなのですか! 1.「片割れの粒子」ですが、反粒子も正粒子もmc^2は、+と思っています。   なので、負エネルギーということは、非物理状態なのですか? 2.直進する光子1個からは、フェルミオン1組の対創生は、不可能と思います(次の証明)   どう考えればいいでしょうか?
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墓所の陰にて @kafukanoochan 2015年4月4日
不可能という証明:   反応の前後の4元運動量と、不変量: E^2=p^2+m^2を考えると、   4元運動量の保存(自然単位系で):(E1、ki,kj,kk)=(E2,p,0,0)+(E2,-p,0,0)   なので E1=2E2、ki=kj=kk=0   また、光子の不変量:E1^2=ki^2+kj^2+kk^2   ∴ E1^2=0   これは、光子が存在しないことを意味する//
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Masahiro Hotta @hottaqu 2015年4月4日
@kafukanoochan 負エネルギーは場に理論における粒子数の異なる状態の干渉効果で生まれます。エネルギー密度の期待値が負であるだけで、全エネルギーの固有状態ではありません。また強い電場での粒子の対生成では、その電場は実粒子の光子でできていません。仮想粒子としての光子ですので、計算されている前提が成り立っていません。
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ロンサムプアー @lonesomepoorman 2015年4月4日
フラットランドが突然円錐形になってしまうので地動説を初めて聞いたキリスト教徒になった気分。
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墓所の陰にて @kafukanoochan 2015年4月4日
「エネルギー密度の期待値が負であり、ハミルトニアンの固有状態でない」なら、負エネルギーのも存在するのはわかります。 それから、荷電粒子Qの周りに静電場(=仮想光子A)が存在する という式から、 Qの対創生が高エネルギーのAから起きる式が、Qの移項で出てきますね。
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ぼんじゅ〜る・Fカップ @France_syoin 2015年4月4日
自分にとって相対性理論とは「100キロで走る電車の中で進行方向に向かって100キロのボールを投げた時と逆方向に投げた時に、それぞれの加速スピードは変わらないのに第三者から見ると、200キロのボールと停止状態のボールに見える」以上の何物でもないw
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墓所の陰にて @kafukanoochan 2015年4月4日
数千キロ上空のGPS衛星は、一般相対論を使って時刻を補正しています。 一般相対論といえども、いまや実用的技術の一環で、 光速度が方向によってたとえば1万分の1程度も変わると、受信機の位置に2~3キロの誤差が出る http://www.edu.kobe-u.ac.jp/fsci-astro/members/matsuda/psudo/0207CarNavi.html
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森 邦彦(MORI Kunihiko) @morikuni_net 2015年4月4日
質点から等距離で周回する(円)軌道が存在すると思われますが、これは平面上では円弧になり直線にはなりませんが、この考えはOKですか?
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Masahiro Hotta @hottaqu 2015年4月4日
morikuni_net 2次元空間の一般相対論では、そのような軌道は重力以外の力がないと回れないのです。もしロケット噴射などをしなければ、ハサミを入れて展開したときに直線になる軌道(専門用語で測地線)しか許されないのです。ここは3次元空間での一般相対論と違うところですね。 RT質点から等距離で周回する(円)軌道が存在すると思われますが、これは平面上では円弧になり直線にはなりませんが、この考えはOKですか?
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Masahiro Hotta @hottaqu 2015年4月4日
morikuni_net 3次元空間の一般相対論だと物質のない場所の時空曲率も零ではなくなり、ご指摘のような円軌道は許されるようになります。
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森 邦彦(MORI Kunihiko) @morikuni_net 2015年4月4日
2次元空間でもニュートン力学的なガウスの定理が成り立つ(つまり重力は質点からの距離に反比例)と思ってたので、円錐状(曲率0)になるとはビックリです
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Masahiro Hotta @hottaqu 2015年4月5日
morikuni_net まずガウスの定理から導かれるニュートンポテンシャルVは空間の次元によって異なります。空間3次元ではVはおっしゃる通り距離に反比例しますが、一般のn次元空間を考えると距離のn-2乗に反比例します。ところがn=2とした空間2次元では距離の零乗に対応する定数または対数関数になるしかありません。これはもの凄い長距離の効果を意味します。このため2次元空間の一般相対論では、空間無限遠方の形まで変えてしまい、世界を円錐にしてしまうのです。
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森 邦彦(MORI Kunihiko) @morikuni_net 2015年4月5日
@hottaqu うーん、ポテンシャルが対数関数になるところはわかるんですが、そこから世界が円錐になるところに頭がついてってないです…2次元空間のリーマンテンソルの性質から、2次元だったらどんな質量分布でも質量のない空間の曲率はゼロになるという理解でOKなんでしょうか?
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Masahiro Hotta @hottaqu 2015年4月6日
morikuni_net 「2次元空間のリーマンテンソルの性質から、2次元だったらどんな質量分布でも質量のない空間の曲率はゼロになるという理解でOKなんでしょうか」宇宙項がない一般相対論ならば、それが正しいです。2次元空間(3次元時空)でのリーマンテンソルの成分の数は3次元空間の場合より少ないため、リッチテンソルやスカラー曲率と独立な自由度がありません。真空中のアインシュタイン方程式はリッチとスカラーが零となることを要請しますのでリーマンも零となり、局所的に曲率が全くない平坦な領域になるわけです。
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西坂某@自由ぼっち党員 @PB145B 2015年4月6日
紙1枚って、そういう意味だったのね
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森 邦彦(MORI Kunihiko) @morikuni_net 2015年4月6日
@hottaqu なるほど。ご丁寧にご説明頂きありがとうございました
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墓所の陰にて @kafukanoochan 2015年4月6日
紙を曲げて円錐形にする→「曲げた」のに曲率はゼロ というのは不思議です。 円錐形は、一様に曲がってる=直線の集合 だからでしょうか?
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Masahiro Hotta @hottaqu 2015年4月6日
kafukanoochan いいポイントです。実はここでは触れなかったのですが「曲がっている」という概念には2つあって、内部に住んでいる人が感じる曲がりと、外の空間に埋め込む時に出てくる曲がり とがあります。一般相対論では内部の人にとっての曲がりだけで記述されるので、例えば平面の紙をいくらくるくると丸めても、一般相対論では曲がったことになりません。
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Masahiro Hotta @hottaqu 2015年4月6日
kafukanoochan リーマンテンソルは内部の世界の住人にとっての曲がりを記述しており、円錐では頂点以外全て零なのです。これは一部にハサミを入れて切ると円錐は平なテーブルの上に浮いたりするデコボコなく置くことができることからも分かります。一方地球儀はハサミを入れても丸く浮いてしまう部分ができてしまい、きれいに平にテーブル上に展開できませんよね。そういうことです。
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ナスカ(Nazka-U) @Chiether 2015年4月6日
なるほど解ったような気分にだけなった。
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森 邦彦(MORI Kunihiko) @morikuni_net 2015年4月6日
2次元って重力のない世界なのね
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森 邦彦(MORI Kunihiko) @morikuni_net 2015年4月6日
しかしニュートン力学の世界では2次元でもf∝1/rの中心力(重力)があるので円軌道が存在するはずなんだが…曲率の定義って次元に依存するのでは…
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Masahiro Hotta @hottaqu 2015年4月7日
morikuni_net 曲率の定義自体は微分幾何と同じで次元に依存しませんね。2次元空間の一般相対論は重力波や局所的な重力もありません。そしてニュートン力学と全く違う世界を与えます。重力のニュートン力学は空間次元が3以上では一般相対論の弱場近似として出てきますが、2次元では重力相互作用がもの凄い長距離となって、その近似が非常に悪いということです。つまりもし仮に2次元空間(3次元時空)を実験で作れたとすると、そこではf∝1/rという力は観測できないということですね。
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Masahiro Hotta @hottaqu 2015年4月7日
morikuni_net ちなみに2次元空間の真空解では潮汐力等の局所的重力効果はないですが、もちろん物質分布が空間に広がっていれば、曲率が至るところ非零になるため局所的な曲率の重力効果も復活してしまいます。
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Masahiro Hotta @hottaqu 2015年4月7日
morikuni_net 大域的な重力は残っていますが、潮汐力などを感じさせる「局所的な」重力はありません。物質のない空間は平らであるため、全ての重力の局所的効果は等価原理によって消去できているわけです。しかし他の高次元の場合でも同様ですが「見かけの重力」ならば、局所的にもあるわけです。つまり座標を慣性系から加速度系に変えると局所的に重力ポテンシャルとその力で出てきます。これこそがアインシュタインの考えたアイデアの肝だったわけです。
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森 邦彦(MORI Kunihiko) @morikuni_net 2015年4月7日
@hottaqu なるほど。まだ僕の頭はニュートン力学から脱してないようです。電磁気学の場合、2次元空間において点電荷の作る静電場と3次元空間において直線電荷が作る静電場は等価になりますが、重力の場合は全く異なるということですよね。うーん…
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Masahiro Hotta @hottaqu 2015年4月7日
morikuni_net 可換なU(1)というもののゲージ理論なので、電磁気理論ではマクスウェル方程式が線形です。だからこそ直線電荷を重ね合わせから電磁場を求められ、その結果力が距離に反比例することが分かります。しかしアインシュタイン方程式は非線形です。なので同じようにはいかないのです。
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Masahiro Hotta @hottaqu 2015年4月7日
morikuni_net また3次元空間のアインシュタイン方程式を軸対称性な場合に適用した方程式系は2次元のアインシュタイン方程式になりません。計量だけでなく、場所によって変化する重力定数を意味するディラトン場等の新しい物質場が入った変形重力理論になります。これは2次元空間の一般相対論とは異なる理論と分類され、いろいろ研究されています。
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春川柳絮@日曜日 東-ム19b @ryo_jo 2015年4月7日
紙一枚で「説明」は出来るだろうけど、(理解してない人が)「理解」は出来ないんじゃ。
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taka @Vietnum 2015年4月7日
いくら分かりやすく説明しても、「空間が曲がるとか時間が遅く流れるって、そんなのありないってw」と一蹴されるオチw でもそういう人はサンタの存在を信じるし、血液型占いも信じる多宗教信者だが\(^o^)/
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taka @Vietnum 2015年4月7日
morikuni_net だから地に足のついてないとんでもないラノベやアニメが登場するわけなんですね……。
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墓所の陰にて @kafukanoochan 2015年4月7日
BHからの輻射エネルギーの供給源は、BHの周り(=BHの外)の時空と思います。 「BHの蒸発」というのは、 周りの輻射によるエネルギーの散逸により、(よくあるゴム膜の説明図でいうと) BHの周りが平坦に近づけば、落ち込んでいたBHが「浮き上がって」やがて「まっ平ら」になる。 という捉え方でよいでしょうか。
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Masahiro Hotta @hottaqu 2015年4月8日
kafukanoochan BHの重力エネルギーがホーキング輻射のエネルギーに転化しているということですね。
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墓所の陰にて @kafukanoochan 2015年4月8日
ホーキング輻射の場合、エネルギーの供給源は、BHの周り(=BHの外)の時空であっても、 シュワルツシルド面の存在は、必須でしょうか? (シュワルツシルド面が無い場合は、ウンルー効果になる?
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Masahiro Hotta @hottaqu 2015年4月8日
kafukanoochan 必須ですね。またウンルー効果でもBH地平面と同じようなリンドラー地平面というのが、本質的に効いています。
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ITDOREIKUN @ItDoreikun 2015年4月10日
なんとなく自分には1回でわかりにくかった点がわかった気がする。円錐のトンガリが上だからだ。風呂敷にビー玉置いたら凹むじゃん? 凹む->頂点が下の円錐図->切り込みに点線入れた図->展開図と妄想したらなんか納得してきた。とんがりコーン食べたい
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solanekoソラカカ@ファボ魔RT厨/痩せろデブ @skycat4444 2015年4月10日
何を言ってるか理解出来ないので基礎の基礎から勉強し直す必要があると理解したので小学校からやり直そうと思った
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Aki @Aki_8ara 2015年4月10日
2次元における曲率と3次元のおける曲率はかなり異なるもので、人間が直感的に歪みを理解できる2次元だと結構極端な例えを持ってこないと説明できないと。もっとも重力レンズ効果とかはこの説明でもよく理解できるのでこれは素晴らしい。http://alma.mtk.nao.ac.jp/j/news/info/2015/0407post_589.html
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Masahiro Hotta @hottaqu 2015年4月11日
Aki_8ara これは結構極端な「例え」ではなくて、2次元空間ではアインシュタイン方程式の厳密な「解」であるというのがポイントです。
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墓所の陰にて @kafukanoochan 2015年4月11日
一般相対論は(も)一知半解なのですが、 「重力のある静止系でも光速度は不変である(になるように時間が遅れる」 と思ってよいでしょうか?
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墓所の陰にて @kafukanoochan 2015年4月11日
追伸: 「慣性系がどんどん切り替わって行く」というのは、理解しています。
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Aki @Aki_8ara 2015年4月11日
hottaqu おお失礼しました。ありがとうございます。曲率の円錐の所の読み方が悪かったです。2次元では厳密な解ですね。
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Masahiro Hotta @hottaqu 2015年4月11日
kafukanoochan 静止系というのをどのように定義していますか。ある特定の時刻だけその場所止まって見える局所慣性系ならば、もちろん不変です。他の曲がった座標系なら、みかけの速度は変化して見えます。
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墓所の陰にて @kafukanoochan 2015年4月11日
観測者から見て止まってみえる系が「静止系」と習いました。 シュワルツシルド時空の場合では、(無限遠の)観測者から見て止まっている点 と思います。
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深井龍一郎 @rfukai 2015年4月11日
そもそも特殊相対性理論が理解できてないのに一般相対性理論が理解できるわけがないという。
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墓所の陰にて @kafukanoochan 2015年4月11日
習ったノートを読み返すと「静止系とは、注目する物体が止まってみえる系」とありました。 なので、=「静止系とは、注目する空間が止まってみえる系」 で合ってるでしょうか。
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Masahiro Hotta @hottaqu 2015年4月12日
kafukanoochan それは例えばシュワルツシルト座標系のことでしょうかね。そうであればその(t,r)に関する光の速度dr/dtは場所によって変化します。
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墓所の陰にて @kafukanoochan 2015年4月12日
ありがとうございます。  江沢洋「相対性理論」を買って、ちゃんと勉強しようと思います。
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森 邦彦(MORI Kunihiko) @morikuni_net 2015年4月18日
なんか僕に対する返信が数日前にいくつかあったようですが、twには通知が行かないつくりになってるらしく、即応できませんでした。togetterでの返信にはご注意されたし
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森 邦彦(MORI Kunihiko) @morikuni_net 2015年4月18日
質点ではなく、質量をもった2次元球(質円)を平行線がはさんだ場合でも同様に交差が起きるだろう。この場合質円が自転すると交点の位置もシフトするのだろうか?なんかシフトしそう
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