地球中心は無重力：球殻内の重力と万有引力

五味斎 @gomisai

@AXION_CAVOK @irobutsu 地球科学ではPREMとよばれる1981年の論文の一次元密度モデルが現在でも良く使われています。 www3.atwiki.jp/space/pages/15…

AXION @AXION_CAVOK

@gomisai @irobutsu ご教授ありがとうございます。先ほど、実際の数値を（手打ちでゴリゴリと）入れて、深度別の重力がこうなるのを追認しました。 （教訓: 3秒程度で思いつくようなことは、誰かが既に厳密にやっているので、論文等を探した方が早い^_^;）

Mamoru Kato @mkatolithos

地球の密度の標準モデルでよく使われるのはPREMでしょうが密度はak135のほうが新しい成果が使われているのでこっちがいいかもしれません（好みの問題かも） rses.anu.edu.au/seismology/ak1…

AXION @AXION_CAVOK

地球の深度別重力は分かったので、次はガス惑星の場合を考えている。とりあえず理想気体で液化もしないと考える。式は簡単だけど、解くのが面倒（計算苦手(^_^;)）。 まあ、これが解けないと、ガス惑星が恒星になる条件とか解けないわけだから、星形成屋さんから見れば常識なんだろうけど。

AXION @AXION_CAVOK

@AXION_CAVOK そういえば昔、ガンダムに出てくるようなコロニーの大気圧分布を計算したなぁ。

マノユ @manoyu

@AXION_CAVOK ポリトロープとかでググると幸せになれるかも　Wikipediaの ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9D… とか。

AXION @AXION_CAVOK

@manoyu どうもです。幸せになれました。145年前に気付いていれば良かった(^_^;)。ついでに、宇宙物理たんbot氏が「エムデン方程式を数値積分したい」と言っている意味もよく分かりました。

文句の刺草〜24年はビル管がんばります。 @balsamicoseZ

@irobutsu 地球と同じ質量の水は、分子間力が無いと万有引力だけでは球体になれないんですか?

前野［いろもの物理学者］昌弘 @irobutsu

@balsamicose なると思うけど（まぁ、分子間力のない水ってなんだよって話はるけど）。地球ぐらいあれば重力だけで十分圧力かけられるし。

文句の刺草〜24年はビル管がんばります。 @balsamicoseZ

@irobutsu まぁ水でなくても良いのでしょうね。 公転してる間に崩れちゃうとかロシュの限界とか何か有名な知識なのかなぁと思いまして。

AXION @AXION_CAVOK

@balsamicose @irobutsu あ。面白いネタに気付いた。水球が空間に浮いている場合、中心圧力は表面張力γで2γ/r、自己重力で、えーっと(2/3)Gρ^2r^2だから、rを増やせばどこかで重力圧力が卓越する。逆に言えば、最低圧力となる半径が存在するな……。

AXION @AXION_CAVOK

@balsamicose @irobutsu 重力の式でπが抜けてた。それはともかく、20度の水球で最低圧力となる半径を算出したら8.04[m]だった（計算が正しければ）。リーズナブルな大きさだな。スフィアという映画を思い出した。

AXION @AXION_CAVOK

【問】 面積密度ρの硬い物質で作られた中空の星があるとする。内部の重力は0。では外部表面での重力はいくらか？ ……という問題を思いついた。「半径が書かれていない！」と思うかもしれないが、半径が2倍になると表面積が4倍になり質量も4倍になるが、逆自乗の法則で重力は結局変化がない。

AXION @AXION_CAVOK

もうひとつ。球体が一番〝エネルギー順位が低い〟ので、球体から外れた物質は、時間があれば球体に近づくのは分かるとして、では、どのくらい順位が高いのかをどうやって計量すべきかが気になった。例えば、半球の星と、正方形の星ではどちらが「有効エネルギーが多い」のか……ということだ。

AXION @AXION_CAVOK

@AXION_CAVOK 例えば、歪な形をした物体の体積から、球体になった場合の半径は出てくる。また、物体の内部に収まる最大の球の半径も出てくる。そうすると、この二つの球の中心を合わせて、前者の球から〝溢れた分を移動させる時の位置エネルギーの総和〟で良いのか……とか？

前野［いろもの物理学者］昌弘 @irobutsu

ライトセールで万有引力でつりあう推力を得るように「帆」を設計すると、どの距離でもつりあう、って話に似てますな。 あと、電場の方なら表面電場は電荷面積密度に比例するのは自明。 @AXION_CAVOK

AXION @AXION_CAVOK

@irobutsu ライトセールだと「帆の向き」で力が変わってしまうけど、微小な宇宙塵なら、光圧と重力が釣り合う大きさがある。そういう宇宙塵が太陽系外からやってきても、重力など無かったかのように、太陽系内を等速直線運動で素通りしますな。

AXION @AXION_CAVOK

@irobutsu 「大きさが変わっても同じ」つながりでもう一つ。星の密度が同じであれば、星ギリギリを回る人工衛星（第一宇宙速度）の一回転に要する時間は、星の大きさが変わっても同じってのもありますな。以前、ニコ動のネタで使いました。

John F Candy @JohnFCandy1

@AXION_CAVOK @irobutsu 表面積S＝4πr^2　∴質量M＝4ρπr^2　質量mの物体に働く重力F＝GMm/r^2＝G(4ρπr^2)m/r^2＝4Gρπm　よって半径rによらず重力は一定。…でいいでしょうか？

AXION @AXION_CAVOK

@JohnFCandy1 @irobutsu はい。そういうことです。今思いつきましたが、これって「オルバースのパラドックス」とかそっちの方にもつながりますね。

John F Candy @JohnFCandy1

@AXION_CAVOK @irobutsu おお、合っててよかった。高校物理で解ける問題だったんですね。オルバースのパラドクスとのつながりについては、どういうことか思案中です。

John F Candy @JohnFCandy1

@AXION_CAVOK @irobutsu オルバースのパラドクスとの関連、ようやく分かったかもしれません。恒星の存在密度が宇宙の至る所で一定だと仮定すると、距離ｒ近傍の全天から届く恒星の光量はｒに関わらず同じ、ということでしょうか。

AXION @AXION_CAVOK

@JohnFCandy1 @irobutsu はい。そういう意味で書きました。恒星からの光は距離の逆自乗で弱くなりますが、その距離の球殻に含まれている恒星の数は距離の自乗に比例なので、結局、どの距離からの光量も変わりません。よって、宇宙が無限に広がっていれば夜空は無限に明るい。

AXION @AXION_CAVOK

@JohnFCandy1 @irobutsu 実はこの関係は、当然重力でも同じで、我々は無限の重力の釣り合いの中でここにいる……てな話が、その昔話し合われていたってことです。この話は、宇宙が有限だという話につながっていくのですが、当時の宇宙感は銀河系そのものだったのですがね……。

John F Candy @JohnFCandy1

@AXION_CAVOK @irobutsu なるほど、球殻による重力の寄与は球殻内では0、球殻が小から大へと無限に積み重なっていっても0、でしょうか。球殻内では至る所で無重力、球殻外では中心に全質量と同じ、は電磁気学で一様電荷密度の球殻の電場計算から理解した覚えがあります。