基礎固めbotの数学2B解説

基礎固めbot @studybottttttt

直線の傾きを出して、その積を計算して… ともちろんできますが、考えてみてください。 45度となったらどうしますか？ 120度となったらどうしますか？ はっきり言って、図形と方程式ではお手上げに等しいです。

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様々な角度を議論するとき、一般に、ベクトルの内積を利用して考察します。 これは、物理でもおなじみの発想です。 数学ではたまにtanを用いて考察したりしますが、90度が定義されてもいないですし、あまり一般的な処理方法ではないです。 内積計算が厳しいとき、tanを用いれば

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計算が楽に済んでスムーズに解答できることもある。 その程度に思っておいてください。 さぁそれじゃあ内積だ！ とぶっきらぼうに言うのは良くないです。 伏線を張ってはきましたが、他にも直角を扱えるものがあります。特に、その角度を作る線分の長さが議論の対象のときは

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三平方の定理を使える。 中学でやりますよね。ピタゴラスの定理とも言います。 3.4.5 5.12.13 などは、ピタゴラス数と呼ばれ、センター試験でも過去に何題も、その長さの直角三角形が出されてきました。 今、△OPQはどんな状態でしょう。

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図のような△ですね。 これはおれも図を問題用紙に記入しました。 書くのも楽ですし、書いた方が圧倒的にミスが減りますね。 そうすると、やはり三平方の定理が威力を発揮します。 OQは√3です。 pic.twitter.com/ew8yW0fjtl

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そして今、そのときのθの値を聞かれています。 どうしましょうか。途中計算がないので、前の方に使える情報がないかまず探さなきゃいけませんね。 ありましたありました。 今、OQは、cos6θの関数となってる状態でした。 逆に言うと、cos6θはOQの2乗の関数なわけです。

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OQの値を代入することでcos6θが、cos6θと6θの対応関係を把握することで、6θが、6θとθの対応関係を把握することで、θの値が、出てきますね。 OQの2乗は3ですから、cos6θが-1/2にならなきゃいけないことがわかりますね。 (1)でのcos6θと6θの対応関係を

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思い出しましょう。 これでした。 x座標が-1/2になるのは6θがどのときでしょう。 4π/3のときですね。 ここまで把握すればあとは、画像のように１つ式をメモして計算ミスを防いで、答えが定まります。 pic.twitter.com/74KvNAD28r

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結局、第1問の三角関数は、図形メモと１つの式を書くのみの途中計算で終了しました。 大事なことは計算をたくさん書いてミスを防ごうとすることじゃないことはわかってもらえたと思います。 上限30分で解きたければここまで2分で終わらせます。 pic.twitter.com/VP0xAWkt61

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次から、指数対数に入ります。この年のセンター試験は、指数関数だったようですね。 それでは、やっていきましょう。 pic.twitter.com/DkKYPz15ho

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xyについての連立方程式を解け というのが(1)です。 さぁどうしましょう。 まずは、状況の把握ですよね。 a,bを用いて、x,yを表すわけですから、変数は2つです。今はa,bは定数扱いですね。 その下で、式が2つ与えられています。

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便宜的に名前つけておきましょうか。(画像参照) どうでしょう。変数2つに式2つ。一般にn個の文字について、n個の独立した等式が成立していれば、解は一意的(1つ)に定まりますね。 pic.twitter.com/ovKiVQsjQu

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解く前から見えることって、たくさんあるんですね。 たとえば、(文系の方ごめんなさい)物理で運動方程式を立てたとします。2次元の２体問題です。未知数が5個あるときに、１つの物体の運動方程式(x,y方向)で2つ、もう１つの物体についても2つ、そして

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その2つの物体が何かしらの束縛によって力を作用しあっているなら、束縛条件として1つ、式を立ててやると、未知数5個に対して、式が5つ。与えられた条件が定数のみなら、等加速度、等抗力問題だと、解く前からわかりきってますね。 解く前から、あ、等加速度問題になるぞ！

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とわかっている人と、解いてから初めてわかる人とでは、やはり実戦では差がつくのは当たり前です。 こういったことは、普段から意識していないと、無意識のうちに流れていってしまいます。 非常に大切な情報なんですよ？ つかんで離さないでください。

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問題に戻ります。 そうして式を見てみると、条件より、x,y,a,bすべて正ですから、①、②ともに両辺正です。 これは、2乗や3乗、n乗しても、同値関係が保てそうですね。 おっとここで、同値という言葉、みなさんご存知ですか？

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必要十分、と言い換えられることもあります。 互いに同値な関係、とは、互いに必要十分な関係 を表します。 この場合、両辺正だから、累乗を考えても同値関係は保たれます。 どういうことでしょう？

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次のような等式を考えてみてください。 たとえば、xの範囲を定めずに、両辺2乗したとします。すると次の画像のようになりますね。 すると、 左の関係が成り立ってるならば、右の関係が成り立つ ことがわかります。 pic.twitter.com/hOgnVFYGHT

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このとき、→の向いてる方(右の等式)が必要条件で、左の等式が十分条件である。 と言います。左が成立してる下で両辺2乗すれば、右が出てきますから、左が成立していれば、この→の向きは必ず成り立つことがわかります。右が成立します。 ですが、逆はどうでしょう？

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右の式を解いてみましょうか。 すると、解が2つ出てきますね。 このように、累乗してしまうと、必要条件になってしまい、それが十分条件でもあるかどうかは、状況によります。 このように、必要条件でしかないこともよくあります。 pic.twitter.com/cDiCw1MNXg

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この例からわかる通り、必要条件は、十分条件に対して、広い範囲になります。 センター試験の論証の分野では、必要条件は広い方、十分条件は狭い方、と考えておくと、スムーズに答えられることがよくあります。 Pが成り立つなら絶対にQ とか、日本語に惑わされちゃダメですよ。

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こういう、内容を教える前に、よくわからん日本語を教える教え方は、悪しき教え方だと思ってます。 英語にもよくある指導法の悪い習慣ですね。 問題に戻ります。 さぁ、どうしましょうか。 素直に、2乗3乗して考えましょう。このとき、今いったことから、同値性は崩れません。

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3乗根と2乗根が紛らわしいですね。気をつけてください。 こんなメモが取れますね。②/①をして、片々割ってxから出すのが1番早そうですね。 このときも、もう途中計算ひつようないですよね。 pic.twitter.com/sYCg5SsQYD

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aは分子にきますから、2乗のままです。 bは分母にきますから、マイナスがつきますね。 穴埋めで聞かれているのは、この部分のみです。埋めて、yを考えましょう。 pic.twitter.com/sAdKPtpAQ6

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タを見ると、bのINDEXだけ聞かれているように見えますが、そのあと少しみると、pについても聞かれています。 aとbのINDEX両方求める必要がありそうです。 どの式を使いましょうか。