【記号不足】qとqドットは独立？ 解析力学の「オイラー・ラグランジュ方程式」の偏微分について詳しく知りたい！！【大学の物理学】∬∬∬

MATLAB'zのLIVE Editorにようこそ！ @nonlinopt

解析力学になった途端、合成関数の微分が何かを忘れてしまう現象。 微分記号に変数を使うから混乱するのだ、番号にすればいいのに、とスピヴァック先生（多変数の解析学）。 twitter.com/keisankionwyki…

佐久間 @keisankionwykip

解析力学あるある 教員「x,y,y'を独立な変数だと思ってy'での微分も考えて〜」 物理学徒「yとy'は本当に独立ですか？」 教員「こういうもんだ！覚えろ」 数学徒「そこはx,y,y'での偏微分ではなく、座標自体による偏微分の結果の引数にx,y,y'が代入されていると考えるべきです」 物理学徒「なるほど👏」

2021-12-01 22:11:16

ちょむー @super531441

先日の授業で、変数は独立に動かしているのか、そんなことが許されるのか、みたいな話があったの、こういうことではって気がしてる pic.twitter.com/MOqPH0Dpjr

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ちょむー @super531441

↑これ、下のツイートに貼られてたやつなんかを参考にしてるんだけど、元ツイの方が分かりやすい説あるな() twitter.com/komabaniirunek…

駒場の猫 @komabaniiruneko

遠い昔よく分かる解析力学からまるまる引用してきたもの pic.twitter.com/Q0URwjWlg8

2021-10-18 18:35:39

駒場の猫 @komabaniiruneko

遠い昔よく分かる解析力学からまるまる引用してきたもの pic.twitter.com/Q0URwjWlg8

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ちょむー @super531441

この説明分かりやすいですね…、ありがとうございます twitter.com/PSXase5/status…

PSX @PSXase5

身も蓋もない言い方すればL自体はL:I×Ω×ℝᴺ→ℝ(I:open interval,Ω⊂ℝᴺ:open)でLの第2,3変数による偏導関数は定義できるからy:I→Ωが与えられればそれに(x,y(x),y'(x))を代入できるよねということ

2021-12-02 23:05:27

はすじょい (hsjoihs) @hsjoihs

オイラー＝ラグランジュ方程式が授業で出てきて、恒例の「xとdx/dtは独立じゃないのになんで『ラグランジアンをxで偏微分できるんですか』」に教員がちゃんと説明できていないのを見て、これ書いとこうとなった pic.twitter.com/rPd80rAFlg

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N.Y @N_Y_Big_Apple

@hsjoihs 連鎖律（合成関数の微分）、わからなくなったら、微分の定義式に戻って愚直に出してる。

あず @appliedlove

@hsjoihs 物理の本は定義域を意識すれば、もっと良い議論ができる。 そんな話を以前友人としました。

前野［いろもの物理学者］昌弘 @irobutsu

「yとy'は本当に独立ですか？」に対しては、 「独立じゃないですよ。だからｙの変化はδy、y'の変化はδy'として計算して、あとで部分積分使ってδｙに統一してからE-L方程式を出しているでしょ」 と説明する方が私は好きである。こっちの方が「独立なの？」という不安に答えている気がする。 twitter.com/keisankionwyki…

カピバラ社畜 @SyatikuCapibara

@irobutsu しっくりきますね。元ツイートだとやっぱり？？となります。ラグランジュ方程式でy’で微分してんじゃんみたいな。

前野［いろもの物理学者］昌弘 @irobutsu

「ｙとｙ’は独立じゃないよ」と認識しておいた方が、変分とって （∂L/∂y）δy+（∂L/∂y'）δy' が出たあとで（∂L/∂y）=0,（∂L/∂y'）=0としちゃいけない理由も納得しやすい。

ザード＠ @world_fantasia

@irobutsu それだと結局yが変化したらy'も変化するしその逆もあるのに相互に影響しあって増えたり減ったりを繰り返して計算が終わらないじゃないですかーって疑問に答えられない気がします。 というか私自身そのへんが実はよく分かっていません

前野［いろもの物理学者］昌弘 @irobutsu

@world_fantasia 変化させるのはいっぺんで、そのいっぺんの変化の結果であるｙ＋δｙを使ってあとの計算をしているのだから「変化を繰り返して」ってことはないと思いますよ。

ザード＠ @world_fantasia

@irobutsu どちらかというとその理屈が頭では分かっても気持ちで分からないとかそういう話です(あくまでも私にとっては) 独立でない量が相互に変化している以上「釣り合う丁度いい変化量」しか取れないように感じてしまうと言いますか

前野［いろもの物理学者］昌弘 @irobutsu

解析力学で「ｙとｙ’は独立？」と疑問が出るのは「関数ｙ」を動かして変分取る文脈のときだから、「独立」と聞いて「ｙが動いてｙ’が動かない場面」をイメージしちゃうと不安にかられるのは当たり前。ｙとｙ’が両方が連動して動いても大丈夫な計算方法でやってるよ、と教えた方がいいと思う。

前野［いろもの物理学者］昌弘 @irobutsu

具体的に私のしている説明を「よくわかる解析力学」から。 pic.twitter.com/lkxnTV1VoX

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前野［いろもの物理学者］昌弘 @irobutsu

そういえば、昔これについて書いたな、と思って掘り起こしてみたら、2004年（！！）のweb日記に書いてた。 irobutsu.a.la9.jp/diary/200411B.… 解析力学演習の授業で問題としてとりあげて、学生に議論させたらしい。面白い授業やっているじゃないか、2004年の俺。

前野［いろもの物理学者］昌弘 @irobutsu

これに関するコメントが数日後の日記にもあった。 irobutsu.a.la9.jp/diary/200412A.… 「結局、こういう疑問を持ってしまう人（昔のわしを含む）ってのは、今自分が扱っているのが「ラグランジアン」なのか「ラグランジアン＋経路」なのかがわからないままに計算してしまっている」という結論。

とある高専卒業生 @subarusatosi

@irobutsu 「f(x)^3 (df(x)/dx)^2 を L(f, g) = f^3 g^2 にf= f(x), g = df(x)/dxを代入したものとみなす」 という操作に名前があれば、それをしただですよ、と説明できそうな気がします。

とある高専卒業生 @subarusatosi

@irobutsu 修正：それをしただです → それをしただけです プログラミングで f(x)^3 (df(x)/dx)^2 を計算するために、 L(f, g) = f^3 g^2 という関数を定義するという事はよくやりそうですし、名前があると便利な気がします。

前野［いろもの物理学者］昌弘 @irobutsu

@subarusatosi 一発でそれを表現する名前はないかなぁ。 私はこの手の話のときは、微分するときに微分の方法の説明として「微分が終わってから代入」みたいに言ってる気がします。

とある高専卒業生 @subarusatosi

@irobutsu 「微分が終わってから代入」は誤解のメインのステップではない気がして、むしろ「L(f, g)にf= f(x), g = df(x)/dxを代入したものとみなす」のステップの方が重要な気がします。

前野［いろもの物理学者］昌弘 @irobutsu

@subarusatosi 確かに重要なステップはそこではないかもです。 私はこの手の疑問が出てきたときは「今どういう変分やっているのか」までも戻って考えれば独立だとして計算しているわけじゃない、という説明をよくします。画像のような感じですね。 pic.twitter.com/22WAlNvyyp

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