【記号不足】qとqドットは独立？ 解析力学の「オイラー・ラグランジュ方程式」の偏微分について詳しく知りたい！！【大学の物理学】∬∬∬

前野［いろもの物理学者］昌弘 @irobutsu

@subarusatosi この式(B.50)を「ｘの変化による部分」と「ｘ’の変化による部分」に分けるという手順の中で「独立とみなす」あるいは「ｘとｖの関数にしておいて微分してからｖにｘ’を代入」とかの操作を使うことになります。本質は「どんな変分とっているの？」の部分だと思います。

とある高専卒業生 @subarusatosi

@irobutsu なるほど。 疑問が「x(t)とdx(t)/dtは独立なのか」なのか、それが独立ではない事は分かったうえでの「でもdx(t)/dtで偏微分ってどうゆう事？」なのかで、説明の仕方が変わりそうです。

前野［いろもの物理学者］昌弘 @irobutsu

そういえば「微分が終わってから代入」の話。 最近私は↓のような書き方を使っている（右に書くより下に書く方がスペース的には助かる）。 pic.twitter.com/z4kRnD4ZRZ

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前野［いろもの物理学者］昌弘 @irobutsu

この記号を使って最近書いている途中の解説の一部。 まぁわかっている人にとっては「こんな間違いするやついねぇだろ」だろうけど、いるんだよね（例：昔の私）。 pic.twitter.com/vHUJVT4HmR

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佐久間 @keisankionwykip

前者は数学徒、後者は物理学徒にウケやすい。数学徒は写像や定義域を気にするのに対し、物理学徒は量(実体)やイメージを気にする。前者は「代入する量y,y'が独立じゃなくても座標変数w,vは独立だから偏微分できる」という話だが、後者はその微分の正当化が終わった後で量δy,δy'の従属性を処理する話で pic.twitter.com/kpw263qkZk

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佐久間 @keisankionwykip

これらはそもそも説明している対象が違う。両方とも理解すべき。 「y'の変化はδy'として計算して部分積分」は、「座標で偏微分した」後の話で、その前の∂L/∂y'を考える段階で「(独立な)座標変数」と「(独立でない)代入される量」を区別する必要がある。両方ともy,y'という同じ記号で表すから混乱する pic.twitter.com/NKL1GiKwv0

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とある高専卒業生 @subarusatosi

本当にそれで、説明している対象が違います。 (1)x(t)とdx(t)/dtは独立なのか (2)x(t)とdx(t)/dtとは独立ではないことは分かるが、でもdx(t)/dtで偏微分ってどうゆう事？ の2段階があって、2段階目の説明がなされていない事が多い気がします。 twitter.com/keisankionwyki…

佐久間 @keisankionwykip

物理学徒が2枚目の説明だけに納得しやすいとすれば、実在する量のみを使った説明だからだろう。しかし、それだけでは「何故∂L/∂y'を考えていいのか」に本当の意味で答えられない。これは本来∂L/∂v等と書くべきもの。ラグランジアンLは代入されない値に対しても定義されているからこそ微分できる。

佐久間 @keisankionwykip

y'の値で微分してるとしか思えないのは、記号に騙されているか物理的意味を捉えようとして空回りしている。y,y'と関係のないただの多変数関数Lを2番目の座標変数vで偏微分したのが∂L/∂vであり、元々代入されていた影響は合成関数の微分でδy'として出てくる。その時点で従属性はδy,δy'に吸収される。 pic.twitter.com/12WS5N4Y93

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しずめこみ @Submersion13

ガトー微分 おいしそう

佐久間 @keisankionwykip

∂L/∂vに物理的解釈なんか求めなくていいけど、考えずにはいられない物理学徒のために言うと、「関数yを動かすときy,y'は独立ではない。関数を考えるな。架空の位置wと速度vの対(状態)全体のなす空間ではw,vは独立だからwを止めながらvを動かすことが意味をもつ。架空の速度によるLの微分が∂L/∂v」

佐久間 @keisankionwykip

2枚目の説明自体は間違ってはいないけど、引リツとかを見ると割と誤解を招いている模様。「やっぱりy'の値で微分してる」とか「独立じゃないから偏微分なんだ」とか数学的にメチャクチャな事を言う人もいる。∂L/∂y,∂L/∂y'は独立じゃない変数で偏微分したものではない。誤解で不安を埋めちゃダメ。

佐久間 @keisankionwykip

独立じゃない変数による偏微分など存在しない！ Wikipediaでも何でもいいから偏微分の定義を確認してくれ。他を止めて1変数だけ動かすときの微分だよ。2変数が独立じゃないってことは片方を動かせば他方も動く。よって、他方を止めて一方を動かす微分、すなわち偏微分は不可能。その矛盾に気付いてくれ

佐久間 @keisankionwykip

話がややこしくなるから割愛しようか迷ったけど、「y,y'は独立か？」だけに焦点を当てると更に注意が必要。「独立ではない」というのは正確には「大域的に見て」或いは「関数として」であり、「y,y'の(各点での)値は独立か？」という問いは、そもそも1点だけの情報では微分が決まらないから意味不明だ

佐久間 @keisankionwykip

L(q,q')や∂L/∂y'等という表記が誤解の元凶。これはEL方程式や解析力学に限った問題ではない。記号不足のせいか、物理全般で変数も定数も関数も同じ記号で表し、それについて何の注意もされないことが多い。それが数学的な誤解や余計な泥沼思考を招く。この泥沼に終止符を打とうではないか。拡散希望

hk40m @hk40m

@keisankionwykip この泥沼に終止符を打つためには、具体的にはどのような方法をとればよいとお考えでしょうか？ 特に、元凶となる表記を変えるとしたら、どのような表記にすればよいとお考えでしょうか？

佐久間 @keisankionwykip

@hk40m 関数の引数に名前を付けて上の「数学的な表現」のように書いて、意味を説明するとかですかね。 そもそも変数に名前を付けなければ微分を表記することができないのが不便で、2変数関数fの第1変数に関する微分を∂_1 fと書くとかが流行ればそれもありかと。

シータ @Perfect_Insider

僕の演習テキストでは、一旦別の変数で置き直して二変数関数として書いて偏微分してから、そこにxとdx/dtを代入するという形で書いている。（しかし逆に略記の方で問題なく分かる人から「なぜこういう面倒をするのか」という混乱があった。難しい） sites.google.com/site/naotoshir… twitter.com/keisankionwyki… pic.twitter.com/T9dv7k62Jz

佐久間 @keisankionwykip

解析力学あるある 教員「x,y,y'を独立な変数だと思ってy'での微分も考えて〜」 物理学徒「yとy'は本当に独立ですか？」 教員「こういうもんだ！覚えろ」 数学徒「そこはx,y,y'での偏微分ではなく、座標自体による偏微分の結果の引数にx,y,y'が代入されていると考えるべきです」 物理学徒「なるほど👏」

2021-12-01 22:11:16

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前野［いろもの物理学者］昌弘 @irobutsu

「ここには二つの問題があり、両方理解すべき」には同意する。 『「y'の変化はδy'として計算して部分積分」は、「座標で偏微分した」後の話』には一点、異論がある。 私がむしろ言いたいのは「偏微分の後」ではなくて、「偏微分に分解する前（画像の(B.50)式）に戻れ！」ということなので。 twitter.com/keisankionwyki… pic.twitter.com/Swl2pJhYXK

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前野［いろもの物理学者］昌弘 @irobutsu

「前」か「後」かの違いはあれ、「二つの問題があり、両方理解すべき」はそうだと思う。 ではなぜ私が「独立に動かしてないよ」という説明の方が「好き」かというと、物理の学生が「ええっ、yとy'は独立だって？」という疑問を出すのは、黒板に画像のような絵が書いてある状況でだから。 pic.twitter.com/2BoljknrFP

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前野［いろもの物理学者］昌弘 @irobutsu

この図をみながら「xと(dx/dt)が独立」と言われたら「独立じゃないじゃん！」と不思議になるのは当然で、その不安を解消するためには「計算の都合上独立としているけど、ちゃんと独立でない計算しているから安心して」とまず言う方がいいのでは？ということ。