多項式環 TL

Tomoki UDA @t_uda

とりあえず、私にしてみると多項式の本質は代入にあって形式的な文字式とかであることにはないので、文字式とか独立変数とかなんとか言って多項式環を定義してことさらに多項式環と多項式関数が違うものだと強調するのは非常に気に食わない。 [解析学教]

小泉ふゅーりー @koizumi_fifty

何か言葉足らずだったような気がするので弁明を。「自由ってとこが普遍性」というのは、「自由」という性質は群とか環とかいう圏を念頭において、その上でそういった普遍性を用いて定義されるものだろう、という意味で書きました。

keno @keno1728

@koizumi_fifty もっと言うと, モノイドの圏も経由してますね.

keno @keno1728

@t_uda @koizumi_fifty 有限体とか考えると 多項式環 -> 多項式函数 は単射ではないですね.

Tomoki UDA @t_uda

（（推敲せずにポストしてしまったので「全体」が抜けたりとか色々ミスってますがそこは空気読んでくださいすいません。）） [解析学教]

@Gharpadshah

自由にも普遍性あるのですか？（←全くわかってない系のdirectな質問）

小泉ふゅーりー @koizumi_fifty

@Gharpadshah というか自由というのは普遍性で定義される概念かと。詳しいことを書くとしつこくなるのでアレですが。

@Gharpadshah

@koizumi_fifty 普遍的に用語を使ってそうだな〜というのはなんとなくはわかる気がします。・・・はい。考えてみます

小泉ふゅーりー @koizumi_fifty

@Gharpadshah ごめんなさい、圏論の知識がどの程度あるか分からないのでご存知だったら申し訳ないのですが、一応書いておくと普遍性というのは圏論の用語です。

@Gharpadshah

@koizumi_fifty 一応知ってるつもりではいます。（わかっているかは自分ではわかりませんが・・・）　くどくど書かせちゃってごめんなさい。　一応自由とか普遍性とかは知ってるんですけど、短絡的に考えちゃってていいのかな・・・ってなってます（もっと修業して慣れるようにします）

小泉ふゅーりー @koizumi_fifty

@Gharpadshah いえいえ、くどくて申し訳ないです。私も確かめもせずに大体の勢いで書いておりますので。

@Gharpadshah

@koizumi_fifty いや、自分は知ったかぶりしていて実はわかってないことばかりなのでこれからもいちいち教えて下さるととっても嬉しいです

V-alg-d（ZZ） @alg_d

多項式環と多項式函数(多項式函数環?)の違いが分からない。

@Gharpadshah

@alg_d 私も・・・わかりません。。。。

ジョージ @Kiriyama_George

可換環Rに対して変数の集合を自由基底とする自由R加群上のR係数の自由テンソル代数を交換子全体の集合から生成される両側イデアルで割るとR係数の多項式環が得られそうだ

V-alg-d（ZZ） @alg_d

そもそも多項式環とか群環とかの厳密な定義ってやったことも見たこともない気がする。

Tomoki UDA @t_uda

@alg_d はい、ないんですよこれが。よく使っている基本的なものなのに。 [解析学教]

Φ/ふぁい@転職 @Phitan_Math

多項式環は無限巡回モノイド環で、代入は無限巡回モノイドを乗法巡回部分群に対応させる印象。

小泉ふゅーりー @koizumi_fifty

多項式関数環には「値をとる」という構造が入っていますし、常に同じ値をとるなら同じとみなされるので、多項式環を何かイデアルで割ったような感じになっている気がします。もちろんこのイデアルが消えることもままあるでしょうが。

V-alg-d（ZZ） @alg_d

N^Xの適当な部分集合Aを取ってR^Aの適当な部分集合をR[X]とするというのが自分の結論だったのだが。

石塚 @Yusuke_Ishizuka

{0,1,2,…}からRの元への写像で値がほとんど0_Rであるようなもの全体に和と積を入れた環は多項式環と言えますか？

小泉ふゅーりー @koizumi_fifty

@Yusuke_Ishizuka それは多項式環の帰納極限になっていそうですよね。ほとんどというのは有限個を除いてという意味ですか？

石塚 @Yusuke_Ishizuka

@koizumi_fifty そうです。有限個の値についてだけ非零なら、どこかから先のnではずっとan=0ですね

Azel @laevateinn495

@Yusuke_Ishizuka 有限個を除いて値が0なら、　R(x)との間に同型写像が作れますね

石塚 @Yusuke_Ishizuka

@laevateinn495 「xの多項式a0+a1x+a2x^2+…+anx^nにc∈Rを代入する」操作は、(a0, a1, a2,…, an, 0, 0,… ) に a0+a1c+a2c^2+…+anc^n∈R を対応させる写像と見たいです