#0は自然数 にしたい理由

少し昔(2011-10-16)のけーたさんとのやり取りです。0を自然数にしたい理由について、コンパクトにまとまったものがなかったのでまとめました。 多分に私の主観を含むもので、数学的に厳密な説明という訳でもないので、その点は注意してください。(「大雑把」と断った説明部分とか流石に恣意的過ぎた感があったりしてなんかアレ。)
math 数学 0は自然数
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NAKANO, Keita.econ @Keitaecon
ゼロが自然数か否かの議論は、一体どの場において重要になってくるのかを知りたい。経済学ばかりやってきたが、変数がゼロとなる場合は「興味のないこと」だとして、この辺りあまり気にしたことがない。
NAKANO, Keita.econ @Keitaecon
ゼロが自然数じゃないと、一体何が掬えないの?
距㍍㍍離㍍㍍ぜ㍍㍍ろ @0_uda
@Keitaecon というか主に定義の問題なので [声量ぜろ]
NAKANO, Keita.econ @Keitaecon
@0_uda それは、分かるんです。どの立場をとるのか、ということ以上のものではないのですか?
距㍍㍍離㍍㍍ぜ㍍㍍ろ @0_uda
@Keitaecon 1を最小元とする立場に利点が一切ないので。 [声量ぜろ]
NAKANO, Keita.econ @Keitaecon
@0_uda 僕が知りたいのはそこです。すなわちゼロが自然数であると積極的に言う理由が、有用性という点に立脚するのであるのならば、その有用性はどこに認められるのか、ということです。
距㍍㍍離㍍㍍ぜ㍍㍍ろ @0_uda
えっと、どこまで話しましたっけ。厳密に自然数を定義するときです。 QT @Keitaecon: @0_uda 僕が知りたいのはそこです。すなわちゼロが自然数であると積極的に言う理由が、有用性という点に立脚するのであるのならば、その有用性はどこに認められるのか、ということです。
NAKANO, Keita.econ @Keitaecon
@0_uda 厳密に自然数を定義するときに,その定義の中に「ゼロ」を積極的に含めるという理由が知りたいのです.それが「有用性」からの要請である場合,一体どのような有用性なのでしょうか.
距㍍㍍離㍍㍍ぜ㍍㍍ろ @0_uda
@Keitaecon まず、実数はもちろん整数もない状態で初めて自然数を定義しようとしていると思ってください。大雑把に、「~に対してちょうど2個…」といった議論すらできない状態です。従って、まず有限基数を定義したいという意図があります。これが一つ目。 #0は自然数 (conti.
距㍍㍍離㍍㍍ぜ㍍㍍ろ @0_uda
@0_uda @Keitaecon Remark. 有限基数はものの個数を表すものです(つまり有限集合の要素数のこと)。特に、当然、空集合の要素数である 0 も有限基数です。これが、0 を含めたいとした第一の理由の正確な意図です。 #0は自然数 (conti.
距㍍㍍離㍍㍍ぜ㍍㍍ろ @0_uda
@0_uda @Keitaecon Remark. 有限基数というのはまず「基数」(集合の濃度)があってそのうち有限なものなので、いきなり有限基数を定義するのはいきなり正整数だけ定義するようなものです。これが、有限基数を特別自然数と呼びたい理由です。 #0は自然数 (conti.
距㍍㍍離㍍㍍ぜ㍍㍍ろ @0_uda
@0_uda @Keitaecon 第二に、(有限基数云々のことはひとまず先送りして)仮に 1 から自然数を定義したとしましょう。すると自然数上の加法を美しく定義できません。嫌です。 #0は自然数 (conti.
距㍍㍍離㍍㍍ぜ㍍㍍ろ @0_uda
@0_uda @Keitaecon 第二の理由の続き。1 以上の自然数を用いて整数を定義したとして、改めて 0 以上のものを考えれば確かに有限基数を用意できます。しかし有限基数の概念は整数の特質ではないので、これはあまりにアドホックです。嫌です。 #0は自然数
NAKANO, Keita.econ @Keitaecon
@0_uda この上なく明快なご説明をありがとうございました.なるほどそう考えるに足る明確な理由があり,またその理由も無理のない「自然な」ものであるということ,大変良くわかりました.
NAKANO, Keita.econ @Keitaecon
今日から立場を改めないとダメなのかも知れないな.
関連まとめ
まとめ 各種文献での「0が自然数かどうか」の扱い 色々な文献で自然数、特に0が自然数かどうかについてどのように記述されているか、ふれっしゅさんが調べてくれました。 ※これから更に逐次追加していくと思います。 5782 pv 44 4 users 1

コメント

sakai @SkiMario 2012年3月31日
十分理解できてなくて恥ずかしいのだけど、0を含めた集合を別の名前で呼んではいけないのでしょうか?
くれたぴ🚇크레타피 @keretapi_jepun 2012年4月28日
高校までは0は自然数じゃなかったけど、大学に入って急に0が自然数になったから焦ったの思い出した。まぁ今となってはどっちでもいいけど(すみません)。
羽須 レム。 Birth Remu @Fion_Vailon 2012年5月6日
高校1年生には分からぬ・・・
距㍍㍍離㍍㍍ぜ㍍㍍ろ @0_uda 2012年5月8日
高校1年生は「自然数は正の整数」で覚えていればいいのよ
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