ダメット「文脈原理」について

石川 @otb_btb

ダメット曰く、「文脈原理は次のことを要求しているように見える。つまり、ある形式言語の解釈を定めるとき、まず変数の走る対象領域を規定し、そのあとで初めて原子記号の意味をその領域に即して約定する、といったやり方を試みるべきではなく、その二つの課題を同時に遂行する必要がある」

石川 @otb_btb

これはつまり、ふつうの意味論でやられるような、意味が既知とされているメタ言語で対象領域を確定し、そのメタ言語でもって対象の記号の指示を定める、というやり方を拒否するということ（だと思う）。そうでなく、対象の記号が現れる文の意味を約定することを通して、

石川 @otb_btb

あー書いてるうちにまたわかんなくなってきた…

石川 @otb_btb

新しい抽象的対象を導入するってのがどういうことなのかよくわからないんだよな

石川 @otb_btb

例えば、ある形式言語があったときに、抽象的であれ具体的であれ、"その言語にとって新しい"既知の対象を指す記号を導入するのは、何の困難もない。例えば自然数を指示する定項しかもたない言語に負の数を指す定項（と関数）を導入することを考えよう。

石川 @otb_btb

この場合、負の数は既知であり、それを指す記号を持っているのだから、新しく導入する記号の意味を定めるのには困難はない。負の数を指す（意味論の言語の）記号を使って、対象言語の新しい記号の指示を与えてやればいい（新記号「pred(0)」は-1を指す」といった具合）

石川 @otb_btb

次に、未知の（新しく見つかった）具体的な対象を指す新記号を導入する場合。これは直示定義をすればいい。つまり、新しい対象との因果的なつながり…具体的には指を指して「あれが「A」の指示だよ」みたいな感じ…で指示を定めることができる。

石川 @otb_btb

問題は、新しい抽象的対象を指す新記号（フレーゲにとっては値域記号）を導入する場合。このときは、新しい対象を指す表現は（新しいがゆえに！）まだメタ言語にもないので、第一の方法は使えない。さらに、因果的なつながりを見込むこともできないので、第二の方法も使えない。

石川 @otb_btb

文脈原理による解答は、新記号の登場する文の真理条件を、既知の対象を指す意味が了解されている記号を使って与えればよい、そうすれば、新記号の指示を了解したことになるのだ、ということ。だよね？

yyyy/mm/dd @Zahlangabeheft

@otb_btb ドメインを「これこれの形の名辞が指示するものたち」として特徴づける，という考えが背景にあります．だから，名辞が指示を持つ条件と同一性条件を定めればドメインも定まる．

石川 @otb_btb

@Zahlangabeheft つまり、形式言語の指示を約定する（指示の条件と同一性の条件を定める）ことがそのままドメインを規定することになるということですよね。なぜわざわざそんなふうにしないといけないんですか？

yyyy/mm/dd @Zahlangabeheft

@otb_btb 自然数上の量化の意味を自然数概念を前提せずに説明したり，クラス上の量化の意味をクラス概念を前提せずに説明したりしたいのであれば，これは一つの自然なやり方だと思いますよ．

石川 @otb_btb

@Zahlangabeheft クラス概念を前提しないというのは、クラスへの指示が確保されている（事が前提されそれ以上説明されない）メタ言語によってドメインを規定しない（もちろん意味も約定しない）ということですよね？

yyyy/mm/dd @Zahlangabeheft

@otb_btb うーん「クラスへの指示が確保されているメタ言語」というのは曖昧ですが，まあそう言ってよいでしょう．「クラス上への量化に当たる道具立てが既に備わっている（事が前提されそれ以上説明されない）メタ言語」と言った方がいいかなと思いますが．

石川 @otb_btb

@Zahlangabeheft うーんよくわかんなくなってきた…量化に当たる道具立てがすでに備わっているメタ言語でドメインを規定するというのは、具体的にどうすることなのですか？どこで量化が必要になるのですか？

yyyy/mm/dd @Zahlangabeheft

@otb_btb 私は「あるドメイン上の量化の意味を説明する」と「ドメインを規定する」をほぼ同義とみなしていました．論議領域という意味でのドメインという概念を考える最大のポイントは量化の意味を与えることなので．

石川 @otb_btb

@Zahlangabeheft ということは例えば、「文「∀xP(x)」が真⇔すべてのクラスaについて、「P(x)」[a/x]が真」ないし「文「∀xP(x)」は、<すべてのクラスaについて、「P(x)」[a/x]、>を意味する」というような感じでしょうか。

yyyy/mm/dd @Zahlangabeheft

@otb_btb そう，そのような「メタ言語においてクラス上の量化をそっくりそのまま使うような説明」では〈ない〉ようなものを，「クラス上の量化の意味に対する，クラス概念を前提しない説明」と言ったつもりです．

石川 @otb_btb

@Zahlangabeheft なるぽよ。しかし、記号の指示をあてにしてドメインをつくると、記号が可算個しかなかったら、ドメインも可算個になりませんか？（前にもこんな話をしたような気もしましたが）

yyyy/mm/dd @Zahlangabeheft

@otb_btb あーしましたね．このへんですね：https://t.co/uzcEvdji その問いに対しては私は依然まともな答えを持っていないのですけど，対象言語の中ではドメインの全体と自然数を一対一対応させる関数を構成できないでしょうから，まあいいんでないと思ってますが．

石川 @otb_btb

@Zahlangabeheft なるぽよ。今回も勉強になりました。ありがとうございます！