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2010年11月16日

続・かけ算の5×3と3×5って違うの? の補足

http://togetter.com/li/69117用の補足です。
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勇気 @worthmine

@kikumaco 行列の演算のことをお忘れでは?2つの行列の積に交換法則が適用できるのは一般に、少なくとも一方の行列が単位行列の整数倍である時だけです。高等の数学教育を視野に入れると、交換法則を無条件.. http://togetter.com/li/69117

2010-11-15 20:42:06
勇気 @worthmine

数学的に、交換法則を適用していいのは交換法則の証明を前提とします。その証明を履修する以前に無思考に適用するのは受験数学的手法であり、教科としての数学として正しくありません。 http://togetter.com/li/69117

2010-11-15 20:50:08
勇気 @worthmine

@kikumaco すいません、今フォローしたので関連のツイートを読んでから話したいと思います。

2010-11-15 21:03:01
勇気 @worthmine

まず一点。それは項の概念を履修していることが前提の発想です。負の数を履修していない小学生は ○○×Nと立式します。 RT @kikumaco: しつこいようですが、「○○をN倍する」という式を書く場合、我々はたいていN○○と、Nを先に書きます。これは「立式」の時点でこう書く。

2010-11-15 21:42:34
あ〜る菊池誠(反緊縮) @kikumaco

@Youth_Labo 別にいいんです。問題は「逆順を×にするのはおかしい」の一点です。「小学生は○○×Nと立式しなければならない」はおかしいが、「小学生の多くは○○×Nと立式する」であれば、なんら問題ありません。僕はただ、「逆順も正解のはず」と主張しているだけです

2010-11-15 22:08:39
あ〜る菊池誠(反緊縮) @kikumaco

しつこくて申し訳ないですが、念のため。「掛け算の順序はどちらが先でも間違いではないはずだ」と言っているのであって、「掛ける数が後ろ」という流儀が間違いだなどとは、ひとことも言っていません。「逆順に書いたら×にする」というやりかたはおかしいと言っているだけですよ

2010-11-15 22:31:31
勇気 @worthmine

@kikumaco 少し抽象的な話になります。大学の時に私が履修した線形代数のテストは全5問。配点は真偽に10点その証明に10点でした。受験問題でも同様の配点形式のものはたくさんあります。プロセスと結果を同率に扱うのは教育上正しい姿勢だと思います。(続く)

2010-11-15 23:01:57
あ〜る菊池誠(反緊縮) @kikumaco

@Youth_Labo その話とは違います。プロセスが正しいかどうかは掛け算の順序では判断できません。なぜなら、掛け算は可換だから。

2010-11-15 23:03:44
勇気 @worthmine

@kikumaco 件の画像では解答には○、立式には×です。逆順にしてもその分の点は貰えています。逆順の立式を間違いとする根拠は次のツイートで示します。

2010-11-15 23:05:05
あ〜る菊池誠(反緊縮) @kikumaco

まったく同じ式なのに、「小学二年生が書けば間違いで、大学生が書けば正しい」なんていうのはナンセンスなルールです。どう教えようがかまいませんが、「逆順は×」とする一部の先生はおかしいということ。もし本質的に誤りなら、すべての先生が×にするはずですが、そうはなっていない

2010-11-15 23:13:14
勇気 @worthmine

@kikumaco お待たせしました。普通我々が数学の問題を立式する時、可能な限り事象を単純化します。あえてそうしなかった場合を考えると、立式は一通りになります。 http://twitter.com/#!/Youth_Labo/status/3846856178143232

2010-11-15 23:13:56
あ〜る菊池誠(反緊縮) @kikumaco

@Youth_Labo 申し訳ありませんが、これはまったく意味が理解できません・・・

2010-11-15 23:18:53
勇気 @worthmine

@kikumaco 140文字に押し込めましたので。ご存知の通り、定規とコンパスでの作図が2次方程式の解に帰着出来るように、数学の問題はその形を変換可能です。あえて複雑に3次元の座標を求めさせる問題に変換すると、解はりんごのベクトルの何倍の位置に相当するのかを求める立式になります

2010-11-15 23:33:49
あ〜る菊池誠(反緊縮) @kikumaco

「掛け算を逆順に書いたら×」という指導を擁護されるかたは、「逆順は確かに間違いである」ことを示していただけるとありがたい。間違いではないものを単なる便法で×にすることについては、僕はまったく擁護も評価もしません。

2010-11-15 23:34:50
あ〜る菊池誠(反緊縮) @kikumaco

@Youth_Labo それがなぜ「掛け算の順序が、(掛けられる数)×(掛ける数)でなくてはならない」ことの根拠になります?

2010-11-15 23:36:52
勇気 @worthmine

@kikumaco 補足です。 立式に皿の概念を含めると交換法則が成立しなくなります。 http://twitter.com/#!/Youth_Labo/status/3865351288791040

2010-11-15 23:38:48
勇気 @worthmine

@kikumaco 簡単に説明する方法を思い付きました。小学生の多くは乗算の交換法則について、帰納によって理解をしている。数学的には演繹で理解しないと誤りです。

2010-11-15 23:48:02
あ〜る菊池誠(反緊縮) @kikumaco

@Youth_Labo 「多くは」の話はしていません。正しい知識を持っている子どももいますが、その正しい知識が禁じられるのをよしとするわけですね?

2010-11-15 23:49:40
勇気 @worthmine

@Youth_Labo @kikumaco ここまで理解している生徒が逆順で書いた場合、『かけられる数』の概念の説明が理解できないとは思えませんね。

2010-11-15 23:51:02
勇気 @worthmine

@kikumaco 実際に演繹によって証明ができる子に遭遇した場合、教育的には◎をあげてもいいと思います。話しを聞いて見て、帰納なら×

2010-11-15 23:53:57
あ〜る菊池誠(反緊縮) @kikumaco

@Youth_Labo それで「正しい答を間違いとする」ことを認めてよいというわけですか? 僕は「正しいものが間違いとされる」ような教育は間違っていると思いますが、もし「正しいものを間違いとしてよいのだ」という主張でしたら、残念ながら僕には理解できないとしかいえません

2010-11-15 23:53:04
勇気 @worthmine

@kikumaco 仰る通りですが、帰納による証明は数学的には誤りなので『正しい答えではない』というスタンスです。

2010-11-15 23:55:50
勇気 @worthmine

@Youth_Labo @kikumaco 逆に尋ねますが、仮に演繹で正しく証明されている定理に、帰納で辿り着いた生徒に○を与える教育がただしいですか?証明が有っているのは『たまたま』な訳ですが?

2010-11-16 00:03:02
あ〜る菊池誠(反緊縮) @kikumaco

@Youth_Labo 小学生は交換則を証明なしに習いますよ

2010-11-16 00:01:48
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コメント

勇気 @worthmine 2010年11月16日
うぁ、まさかとぅぎゃられるとは
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勇気 @worthmine 2010年11月16日
一点だけ補足。スカラの乗法の交換則については演繹による証明を前提とします。そちらが回答者と採点者の共通の定理となっていない場合においては数学の手続き上は誤りだという主張は退けません。
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@justamemory 2010年11月16日
文章題で問われるのは、APIや関数の使い方ではなく、アルゴリズムを理解しているかどうか。そして、それを(第三者が見やすいように規約を守ってコードを記述するのと同じで)伝わる形で式にできるか。お約束を授業で教えたのに無視するなんて、よっぽどパンク。3×5が「好ましい」のは当然。
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あ〜る菊池誠(反緊縮) @kikumaco 2010年11月16日
仮に「好ましい」のだとして、それが「そうでなくてはならない」になると考える理由がわかりません。意味のないルールで算数をつまらなくするのがよいとは思えませんが。
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@justamemory 2010年11月16日
バツにすべきかどうかは別の話です。△でもよかったし、話を聞いて確認してもよかったでしょう。ただ、アルゴリズムを理解して、自分で問題を考えられるようになったほうが、算数が楽しくなると思いますし、アルゴリズムを理解してわかりやすく表示するように心がけることで、その後の難しい文章題にも生きてきます。とくに受験にあたって、わかりやすくアルゴリズムを伝えることは大事です。
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@justamemory 2010年11月16日
意味が無く感じられるのは、なぜ文章題という形であるのかを考慮してないからだと思います。文章題は、論理を組み立てて、第三者にわかりやすく伝える能力を鍛える性質があります。また、そのように「論理を理解して整理する」能力がなければ、解けない問題も出てきます。僕は決して無駄だとは思いません。ただ、子供相手にしては厳しすぎるとは思います。
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@justamemory 2010年11月16日
3と5が出てきて、なんとなくかけ算をしてしまった子の場合、高学年になってから「A君とB君が同時に家を出ました・・・」みたいな問題で、「四則演算はわかるけれど、答えを組み立てられない。わかりやすい形で答案に出来ない」という状態に陥る可能性があります。もちろん、3×5と書いたからといって、論理を理解しているとは限りませんが、5×3よりは「好ましい」のです。
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あ〜る菊池誠(反緊縮) @kikumaco 2010年11月16日
「順序を違えた子は論理を正しく理解していない」という決め付けが間違いだといっているのです。交換則を正しく理解していれば、「どちらでもいい」ことがわかる。「順序」は理解度の判定基準として筋が悪いんですよ。
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らぃりる @Liriru 2010年11月16日
@justamemory 設問が悪いのでしょう?理解度が足りなければ詰まる問題があるのならそれを問題として出題すべき。「×にすべきではない」という主張に「別の話だ」でカラムのはおかしいですよ?
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as @as1_jp 2010年11月16日
これって英語の英訳日本語訳の問題で「授業で習った以外の文章を答えたら、例え文章が正しかろうが×」ってのと同種の問題じゃね? 要するに日本の教育は硬直的だって話だろ。
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@justamemory 2010年11月16日
kikumacoさん、もちろん「決め付けでバツ」は暴力的だとは思います。ただ、一気に30人を教える場合、(交換則を含め)理解度を確認するにはどうしたらいいのかを考えると難しい問題だと思います。「授業の理解度など気にしないで、みんなマル」というのも手ですが、それはそれで問題がある気もします。でも、かけ算に限っては大目に見るのが良いのかもしれませんね。
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AKei@新職場! @Ataro1002 2010年11月16日
結局、算数(学校)の目的は、教えられたことをキチンとこなしているかが、採点の基準になると考えます。つまり、(個数/皿)×(皿数)=(個数)と教えて、その基準で採点するべきだと思います。低学年に図示させるのは厳しいし、それが1対多数での教育におけるベターな方法だと思います。
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bakabakaweb @bakabakaweb 2010年11月16日
そもそも回答欄にわざわざ「式」があるのだから、正しい立式を書くのが正解。で、5×3は正しくない。なので、○はどうやってもつけれない。×か△。間違っても正解ではない。
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AKei@新職場! @Ataro1002 2010年11月16日
この発想は、(初等教育は)学校で教えられたことをキチンと運用できるかが評価基準になっているところという考えからきています。 http://d.hatena.ne.jp/thinking-terra/20100913/1284376912 論理を(第一目的に)教える場所ならば、違いますけどね。
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YAMBSA @yambsa 2010年11月16日
まず、テストに至る授業でどのように教えていたかが重要では?テストは理解度の確認なんだし。僕も文章題で解があってるのに式がぜんぜん違うから×はよくもらった。要はマグレ当たりだっていわれたけど、必死で式を考えたので???だったよ。何が間違いで何が正解か、ちゃんと解説しないと先生のいる意味がない。ちゃんとどうしてか赤ペンで補足してあげないと駄目だよね。
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芹沢文書 @DocSeri 2010年11月16日
「論理を第一に教えない」のは何故なのか。「教えた通りの運用をすることを教えるための教育」というのは存在そのものがトートロジーなのではないか。
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AKei@新職場! @Ataro1002 2010年11月16日
>DocSeriさん 参考URLにもありますが、社会学的見地からですが、「教育(=学校の目的)は、もともとその教育をうける個人の便益を目的にしたものでは全くない。」とされます。「ムダ」を「論理性の低いこと」と置き換えると話は通ると思います。
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あ〜る菊池誠(反緊縮) @kikumaco 2010年11月16日
「学校ではまだ教えられていないが、正しいこと」を否定するのが「よい教育」という立場なら、そんなものは僕には理解できない、としか言えません。「習っていない知識」を否定する教育はよくないと思いますよ。習っていようがいまいが、正しい知識は正しいとしか言いようがないです
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AKei@新職場! @Ataro1002 2010年11月16日
↑日本語おかしいですね。×「参考URLにもありますが」→○「参考URLを参照すると」と読み替えてください。
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anwhite @anwhite35 2010年11月16日
初米テストをかねて kikumacoさんを支持 5*3を×にする神経は理解できない というよりこの話題で賛否が分かれること自体が驚きである
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as @as1_jp 2010年11月16日
「学校で教えられたことをキチンと運用できるかが評価基準になっている」 思考停止バカが高く評価される社会という事ですね。なるほどとても良く分かります。
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たぬきのたからばこ(カラバコ) @hi_kmd 2010年11月16日
習っている知識から、習っていない知識を導きだした上で使うのなら良いと思うが、前提もなく習っていない知識を使うのは問題だと思う。
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AKei@新職場! @Ataro1002 2010年11月16日
個人的な立場は、「学校だと×だが、論理的には○」です。結局この考え方は大学入試まで生きているとされているから、それに従った方が楽だということだと思います。(例:ロピタルの定理)
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anwhite @anwhite35 2010年11月16日
学校で教えてない書き方が×なら、5(皿)*3(個/皿)=15(個)と書いても×なのかな?
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LAST 👹 LINE 👻 @lastline 2010年11月16日
間違ったとされた子が疑問に思って、あるいは先生が授業で n倍だから立式が間違っていると教えられているか否かだよね。交換可能云々ならば、3*5 / 交換可能だから / 5*3 と書かないとやはり×でしょ
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@classical_logic 2010年11月16日
>一点だけ補足。スカラの乗法の交換則については演繹による証明を前提とします。 論外。小学校の算数になにをもちこもうというのか?60年代の新数学運動の鉄を踏みたいの?
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@classical_logic 2010年11月16日
@Youth_Labo 素朴な交換可能性の理解の先に、公理化された体系内での交換法則の証明がスジだろ。っていうか、実数の積の交換法則は高校だって公理扱いじゃね?
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@justamemory 2010年11月16日
Youth_Laboさんの説明は「3×5と5×3は確かに違う」という意見を補強するものです。可換性が成り立つことの特別さを意識しない姿勢や、「同じ答えが出るからどっちの式も同じ」とする認識を明確に否定しています。これは反論の余地がないはずです。/それを小学生が意識するべきかどうかは別の問題で、まとめの中でYouth_Laboさんは「どちらでも○で良い」と結論しています。
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松村稔@プロ牛乳石鹸 @kai0707 2010年11月16日
興味深いので引き続きフォロー。意外と、3×5でも、5×3でもどっちでもいいじゃないという人が多いのだなぁ。
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松村稔@プロ牛乳石鹸 @kai0707 2010年11月16日
そうか、「3と5が出てきて、なんとなくかけ算をしてしまった子」の事を考えると、式を×にするというのは、思いやりのある採点かもな。
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らぃりる @Liriru 2010年11月16日
@kai0707 そのなんとなく掛けてしまった子とわかって掛けた子を区別できるのか?という問題はどうやって回避します? あの設問で定量的に判断するのであれば3x5も5x3も○にしたうえで解説するしかないと思いますけど。xにして解説したらおそらく子供は反抗心を持つだけでしょうね。
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あ〜る菊池誠(反緊縮) @kikumaco 2010年11月16日
「逆に書いたら、論理を理解していない証拠」でもないし、「教えられた順序で書けば、論理を理解している証拠」でもないですよ。理屈がわかっているかどうかを知りたければ、別のやりかたをすればよい。
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Cai @Cai0407 2010年11月16日
まだ続いてるのか。振り上げたこぶしを下ろすタイミングを完全に失ってる誤答派。数学的には可換、国語的にも解釈の問題に過ぎないものをここまで引っ張れることには驚きを禁じ得ないけどね
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あ〜る菊池誠(反緊縮) @kikumaco 2010年11月16日
「逆順は間違い」というかたと、「間違いではないが、指導の都合上従うべき」というかたがおられるようです。そのふたつは違いますね。僕の意見は、前者に対しては「間違いではない」、後者に対しては「間違いでないなら、指導の都合と関係なく、逆順でも間違いでないとするべき」です。「この順序が理解しやすいからそうしましょう」という指導にはなんら問題ありません。問題にしているのは「逆順は正しくない(×にするにせよ△にするにせよ)」とする指導方法です。
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AKei@新職場! @Ataro1002 2010年11月16日
学校のテストは、守離破でいうところの「守」ができてるかを見るモノだから、この対応は考えられなくもない。先生の期待としては、授業と同じやり方を期待しているわけだから、その結果、「離」や「破」に達した子は×になる可能性がある。一方で、理解していない子も正解する可能性がある。したがって、真の理解度の判定基準を図る上でこの問題は愚問。私の考え方はこんな所です。正しいことを教えるのも大切ですが、テストで点を取らせるやり方を教えるのも大切です。
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松村稔@プロ牛乳石鹸 @kai0707 2010年11月16日
@Liriru 確かに区別は無理ですし、×をつけられると、子供は反抗心を持ちそうですね。○にしたうえで、念の為解説をしてあげるのが一番理想かも知れません。
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@classical_logic 2010年11月16日
@Youth_Labo 乗法の交換法則を公理にした算術の公理系なんざいくらでもあるだろ。その程度で議論してるのか君は。
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Haruka McMahon @regicat 2010年11月16日
その昔、同じように式の間違いで×つけられて先生に教えられたのは「試験の採点者は減点する隙を探してるんだから、ツッコミ所になるような回答はするな」ってことで、要は受験テクニックなんだよね。とはいえそれが長じての「上司からツッコミの来ないドキュメント」につながってたりするのでまったく役立たずとはいえないかも(笑)
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重明 @sea_ts 2010年11月17日
結局「指導要領に書いてある」からで決着がついてしまったわけだが、それは数学じゃなく国語および政治(人間間の力学)の問題だよな。そして「習っていないモノは知らないはず」という前提を絶対視するのは教育じゃなくて洗脳だ。また英語圏からの帰国子女が脳内言語の順で書くと×というのも考慮されていなくてアタマワルイ。
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nanopicolab @nanopicolab 2010年11月18日
たとえ文章問題であったとしても 3×5を5×3と書くことは『数学的に間違いでない』 順番通り書くべしという教育上ルール従う前に、数学のルールに従うべきだ。
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nanopicolab @nanopicolab 2010年11月18日
仮に「教えたことと違うやり方」に間違いを感じるならば、 『教えた方法とは違うが、君のやり方も実は正しい』とコメントしたうえで○をつければいいだけ。
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×ね @kusune 2011年5月4日
テストは「教えた内容を理解しているか」を確認する手段なので、それより高度な内容を理解していようが、質問と噛み合ってない回答をした時点で×だと思う。従順でないとダメという話とも違う。
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雪見 @yukimicx 2011年12月25日
関連ブログ:それでも自然数の積は可換である - 吾輩は馬鹿である http://d.hatena.ne.jp/Sokalian/20101116/1289928627
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