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自然現象に潜む複素数についてのツイート

放送大学のラジオ講義「代数の考え方(テーマ:複素数)」を聞いて、複素数について再度、考えていた。その時、自然に潜む複素数について質問があったので、まとめた。参考までにどうぞ。
自然 制御 思想 工学 自然科学 社会科学 複素数 物理学 量子力学 電磁波
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小猫遊りょう(たかにゃし・りょう) @jaguring1
内容『複素数(虚数)が数として認知される歴史の説明と、複素数の威力について説明する。特に Gauss の貢献に重点を置く』 【キーワード】 複素数
小猫遊りょう(たかにゃし・りょう) @jaguring1
ガウスのおかげで、一気に複素数が身近になったからな。
小猫遊りょう(たかにゃし・りょう) @jaguring1
まあ、複素数の話ってことは、たぶん量子力学の話にも少しは触れることになるのかな。
小猫遊りょう(たかにゃし・りょう) @jaguring1
複素数について話すのに、量子力学の話が一切なかった。
小猫遊りょう(たかにゃし・りょう) @jaguring1
けど、まあ、時間が45分しかないとしょうがない気がする。
小猫遊りょう(たかにゃし・りょう) @jaguring1
「複素数」をテーマに45分しか説明する時間がないってのは、まあ、このぐらいの浅い説明になっちゃうよな・・・
小猫遊りょう(たかにゃし・りょう) @jaguring1
自分だったら、何について話すだろう。物理学・化学・生物学など(自然科学)に潜む複素数。社会科学に潜む複素数。複素数の数学的位置づけ。「思考」の中の複素数。ついて話すかな・・・子供の頃、コンビニに向かって歩いているときに、変なおっさんの行動を見て、虚数についての実体性を強く感じた。
小猫遊りょう(たかにゃし・りょう) @jaguring1
放送大学のラジオ講義。結構、面白い。復習にもなるし。時たま、知らない雑学があったりして、勉強になる。
みやま〜 @siriusu_ZW
@jaguring1 自然に潜む複素数について教えてください!
小猫遊りょう(たかにゃし・りょう) @jaguring1
@siriusu_ZW 「自然に潜む複素数」は奥が深いので、一言で説明できるか、分かりません。なので少しだけ。まず「-1」とは何か?という考察から出発します。「-1」を他の数に掛けると、逆転させる力を持っている。例えば5に-1を掛けると、-5になる。つまり「逆」へ行きます。
小猫遊りょう(たかにゃし・りょう) @jaguring1
@siriusu_ZW では「逆」とは何か?これを違う視点から見れば、180度回転のことですよね。クルッと180度回転することを、「逆」と考えることもできる。つまり-1とは180度回転をさせるもの、です。ここで「何か」を二回掛けて、180度回転される、そんな「何か」について考える
小猫遊りょう(たかにゃし・りょう) @jaguring1
@siriusu_ZW つまり「何か」×「何か」= -1 になる、そんな「何か」、について考える。このような視点に立つと、虚数iの役割は「90度回転させるもの」と考えることが出来る。なぜなら90度回転してから、さらに90度回転すれば,180度回転したことになるのだから。
小猫遊りょう(たかにゃし・りょう) @jaguring1
@siriusu_ZW ここまでの話で、虚数iが「回転」と関わっていることが分かる。長くなるので少し論理を飛躍させてもらうが、実は「複素数」は「回転・拡大させるもの」と考えることが出来る。そのことは少し説明が必要だが、ここでは説明しないことにする。
小猫遊りょう(たかにゃし・りょう) @jaguring1
@siriusu_ZW ここが詳しく知りたかったら、この講義動画がおススメ。「慶應大学 講義 物理情報数学A 第一回 高校数学からの復習 2010 youtube.com/watch?v=oLA6E-…
小猫遊りょう(たかにゃし・りょう) @jaguring1
@siriusu_ZW この動画では、複素数がなぜ「回転・拡大をさせるもの」と解釈することが出来るのか、という話を最初のほうで詳しく説明してくれている。 さて、複素数の大まかなイメージが出来れば、自然の中に潜む複素数が見え隠れする。
小猫遊りょう(たかにゃし・りょう) @jaguring1
@siriusu_ZW キーワードは「回転・拡大」です。大雑把にいえば「くるくるって回転したり、ギュイーンって拡大したりする現象」には複素数が隠れている。例えば電流・電圧は「交流」を扱っています。
小猫遊りょう(たかにゃし・りょう) @jaguring1
@siriusu_ZW 交流っていうのは「電流が強く流れたり、弱く流れたり、逆方向へ弱く流れたり強く流れたり・・・ということが何度も繰り返される電流のこと」です。つまりこの中には「くるくる繰り返す現象(回転)」が潜んでいます。
小猫遊りょう(たかにゃし・りょう) @jaguring1
@siriusu_ZW 厳密にはきれいな繰り返しじゃなくて、ギザギザと細かいノイズが入り乱れるけど、実はそこにも虚数が潜んでいることを大学(工学部や物理学部)で習います。
小猫遊りょう(たかにゃし・りょう) @jaguring1
@siriusu_ZW このような繰り返し現象を数学で扱うことが出来れば、「現象の理解」が深まったり、「現象の制御」が可能になります。さらに「現象の先(未来)」を予想する事にも使えます。このようにくるくる現象(回転)には、複素数が潜んでいるわけです。
小猫遊りょう(たかにゃし・りょう) @jaguring1
@siriusu_ZW (他には地震もグラグラと左へ右へ、とか上へ下へという感じで、繰り返しが潜んでいるし、心臓の鼓動もドクンドクンと繰り返しが潜んでいます(心電図もそう)。脳波もそう。ほかには海の波も行ったり来たりで繰り返し。
小猫遊りょう(たかにゃし・りょう) @jaguring1
@siriusu_ZW 波も高くなったり低くなったりで繰り返し。携帯電話やテレビに使われている電波も波(電磁波)ですから繰り返し現象が背後にあります。音もそう。音(例えば声)は空気の振動です。
小猫遊りょう(たかにゃし・りょう) @jaguring1
@siriusu_ZW 口元の空気が圧縮される。その後、そのギュウギュウになった空気は膨張しようとする。膨張するとき、さらに隣の空気を圧縮する。そしてそのギュウギュウになった空気が、さらに隣の空気を圧縮させる。このように、圧縮・膨張が伝わっていき、最終的に鼓膜をパコパコと揺らす。
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コメント

小猫遊りょう(たかにゃし・りょう) @jaguring1 2015年1月28日
このまとめは中学生・高校生レベルの基礎知識を仮定しています。またこのまとめでは「公理・定義・定理・証明」などの厳密な話をしたいわけではなく、複素数を少しでも身近に感じてもらえたらいいな・・・と思って書いたものです。
小猫遊りょう(たかにゃし・りょう) @jaguring1 2015年1月28日
そのため、厳密性はかなり犠牲にしています。所々に論理の飛躍がありますので、詳しく知りたい場合は専門書を読むか、あるいは大学の先生や研究者に聞くといいでしょう。しかし、厳密な話の場合は、話を聞くよりは専門書を一行一行飛ばさずにしっかりと読む(時には立ち止まって考える)、ということが理解の早道だと思います。
小猫遊りょう(たかにゃし・りょう) @jaguring1 2015年1月28日
自然現象に潜む複素数について、ほんの少しだけ呟きました。このまとめで述べたことよりも、実際の複素数はもっとずっと奥が深く、考察のし甲斐がある面白いテーマだと思います。これ以外にも「社会科学に潜む複素数」や「複素数の数学的位置づけ(厳密な議論)」。さらに「思考(思想)」の中にも複素数が現れている場合があり、考えれば考えるほど、その奥の深さに驚かされます。
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