先頭項LT

グレブナー基底大好きbot @groebner_basis

【先頭項LT①】 まずは、昨日の復習問題ぶなっ！ 問「二変数多項式x^2*y^2+3*x^3*y+1+2*y^4 を単項式順序の"辞書式順序"で並べよ。ただし、xとyの間の大小関係は、x>yとする。」 さあ、れっつらごおぶなっ！ pic.twitter.com/C6WNaxC3zR

拡大

グレブナー基底大好きbot @groebner_basis

【先頭項LT②】 辞書式順序とは、xの次数が高い順に、xの次数が同じだったらyの次数が高い順に並べる順序だったぶなねっ！よって、答えは、 3*x^3*y+x^2*y^2+2*y^4+1 になるぶな！ちなみに係数は気にしないぶなよ！ pic.twitter.com/ZbAFjo7e2e

拡大

グレブナー基底大好きbot @groebner_basis

【銭塘江LT③】 辞書式順序で並べると、その多項式の先頭には、3*x^3*y が来ているぶなね。これをこの多項式 f(x,y) の「先頭項(Leading Term)」といい、LT(f)=3*x^3*yで表すぶなっ！

グレブナー基底大好きbot @groebner_basis

【先頭項LT④】 さらに、この時の先頭項の係数3を「先頭係数(Leading Coefficient)」といい、LC(f)=3で表し、単項式x^3*yを「先頭単項式(Leading Monomial)」といい、LM(f)=x^3*y と表すぶなっ！

グレブナー基底大好きbot @groebner_basis

【先頭項LT⑤】 最後に、この時のx^3*yの次数(3,1)を「多重次数（multidegree）」と呼び、multideg(f)=(3,1)で表すぶなっ！以後、多項式 f の次数といったらこの多重次数のことを表すこともあるぶなっ！

グレブナー基底大好きbot @groebner_basis

【銭塘江LT⑥】 一般にまとめると次のようになるぶな。 【定義】 fをK[x_1,…,x_n]の多項式、≧をある単項式順序とする。 LT(f) でその順序でfの中で最も大きい項、 LC(f)でその係数、 LM(f)でその単項式、 multideg(f)でその多重次数 を表す

グレブナー基底大好きbot @groebner_basis

【先頭項⑦】 ここで、大事なのは、「先頭項は単項式順序に依存する」ことぶなっ！つまり、単項式順序が変われば、先頭項や先頭係数は変わってくるぶじゃっ！試しに、最初の多項式を「次数付き辞書式順序」で並べて直してみるぶなっ！

グレブナー基底大好きbot @groebner_basis

【先頭項LT⑧】 次数付き辞書式順序とは、「まず次数の大きさで比べ、同じだったら辞書式で比べる順序」だったぶなから、次のようになるぶなっ！ 3x^3*y+x^2*y^2+y^4+1 おやおや変わってないぶなねー。これはぶなっしーの中の人が、y^4の次数を5にし忘れたからぶなっ

グレブナー基底大好きbot @groebner_basis

【先頭項LT⑨】 改めて、g=3x^3*y+x^2*y^2+y^5+1 という別の多項式を考えてみるぶなっ！これを辞書式順序で並べるとそのままで、LT(g)=3x^3*y になるぶなっ！しかし、「次数付き辞書式順序」で並べるとg=y^5+3x^3*y+x^2*y^2+1 となり、

グレブナー基底大好きbot @groebner_basis

【先頭項LT⑩】 この順序では、LT(g)=y^5 となり、単項式順序によって「先頭項」が変わることが分かったぶなっ！このように、ある多項式の先頭項を考えるとき、それは「単項式の並べ方」に依存するので、最初にどんな単項式順序を考えるかによって変わってくるぶなっ！

グレブナー基底大好きbot @groebner_basis

【先頭項LT⑪】 実は、今日のLTを理解できれば、グレブナー基底を簡単に定義できるぶなっ！でも、それは来週することにして、明日はLTを使った「割り算アルゴリズム」を考えていくぶなっよ！

グレブナー基底大好きbot @groebner_basis

【今日のまとめ】 「1つ単項式順序が決まっていると、多項式の先頭項LTが決められる。そして、銭塘江は中国の川らしい。」 ぶなっ！

グレブナー基底大好きbot @groebner_basis

今日の参考文献も、毎度おなじみ[1]ぶなっ！