小学校の算数では倍数の導入時にゼロを含めていない。高校数学以後ではゼロを含めるのに、あえて異なる定義にするメリット/デメリットは？

kistenkasten723 @flute23432

「超算数」タグの常識は世界の非常識 「算数教育界上位の人達に従うと「0はすべての数の倍数である」という常識を徹底否定する教え方をする先生になってしまいます。」（黒木氏 2019/11/17 20:21） #掛算 #超算数 #算数 #算数教育 #倍数 #ゼロ pic.twitter.com/kjjlSlvWY0

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kistenkasten723 @flute23432

世界の初等数学教育では、ある数n（正の整数）の倍数はnから始まると教えるのが普通で、「0はすべての数の倍数である」は非常識。日本では高校ではじめて、倍数がゼロや負の数に拡張される。 pic.twitter.com/yIKuJvZniZ

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kistenkasten723 @flute23432

上２つは英語圏の例。これはドイツ語圏の例。 pic.twitter.com/cph1d0Eeno

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kistenkasten723 @flute23432

アメリカＮＹ州コモンコアのEuraka Mathから。 pic.twitter.com/n6eyLxSZeO

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kistenkasten723 @flute23432

日本でも、もちろん、倍数にゼロは含まれない。 pic.twitter.com/dJfjJhGCga

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Taichi AOKI @aoki_taichi

興味深い。ゼロの存在は教育済みなのに、初等教育で倍数にゼロを含めないメリットは何なのだろう？ a.最小公倍数の説明がややこしくなるから？ b.「ある数nの倍数にとって、nは約数である」って言えなくなるから？ c.nの倍数なのに、nより小さくなるのが児童に混乱を招く？ twitter.com/flute23432/sta…

Taichi AOKI @aoki_taichi

私は、初等教育とその後で定義を変えるのは混乱を招くから、上記のメリットがあろうと、初等教育から倍数にゼロを含めてよいと思う。(ゼロ自体を教育済みなら) 負の整数も同様。

kistenkasten723 @flute23432

@aoki_taichi 「(ゼロ自体を教育済みなら)」 ゼロは、小学低学年から教わります。 「負の整数も同様。」 倍数だけで、負の整数を導入するのでしょうか。それとも、他の、約数や偶数・奇数、四則演算でも、負の整数を導入するのでしょうか。

kistenkasten723 @flute23432

@aoki_taichi 定義を変えると混乱するから避けるべきというのなら、数の定義でも同様のはず。倍数以外でも、たとえば四則演算でも、数を最初からゼロと正の整数に限定する必要はないということになります。

kistenkasten723 @flute23432

@aoki_taichi でも、どこまで含めるのですか。実数？、複素数？ 小学校から負の整数を含めただけでも、中学でもその理解に苦労することがある負の数の乗除を、小学生に教えそして学ばなければならないことになってしまいます。

kistenkasten723 @flute23432

@aoki_taichi 小１は、物の数え方（2, 4, 6...）、３個と３番目の違い、2と5で7、3と4でも7といった数の分解、などから始めます。どうやって、同時に無理数を教えるのでしょうか。

Taichi AOKI @aoki_taichi

@flute23432 ご質問ありがとうございます。 「倍数の定義が後から拡張されると混乱するというのなら、数の定義が拡張されて行くのだって混乱するではないか！」というご指摘ですね。

Taichi AOKI @aoki_taichi

@flute23432 私の中では、それは折り合いついているのですが、うまく文章化できるかどうか、トライしてみます。 まず、数の定義が拡張されると、学習者が混乱するというのは、実際に、そういう要素はありと思います。しかし一方で、いきなり複素数から始めるのは、学習者にとって、負担が大きいと思います。

Taichi AOKI @aoki_taichi

@flute23432 まずは、学習者にとって身近な、個数と対応づができる1位上の小さい正数から始め、徐々に2桁や3桁の正数に進むのがよいと思います。そして、引き算を学ぶ前後で負の整数を学ぶのが、ひとつのタイミングだと思います。

Taichi AOKI @aoki_taichi

@flute23432 そして、割り算を学習した後に、小数/分数などの有理数を学び、累乗根を学習してようやく、無理数を含めた実数や、虚数を含めた複素数を学習する準備ができると思います。なるべく緩やかな学習曲線にして、落ちこぼれを出さないよう、数の定義を徐々に拡張する世間の教育方法に異論はありません。

Taichi AOKI @aoki_taichi

@flute23432 私が疑問視しているのは、ゼロを教育済みなのに、倍数にゼロを含めないことです。そのメリットは、昼のツィートでa,b,cと予想しましたが、より強力なメリットがありましたら、ご教示ください。 私は、a,b,cのメリット程度なら倍数にゼロを含まないデメリットの方が大きいと思いました。

Taichi AOKI @aoki_taichi

@flute23432 私は、ゼロに何をかけてもゼロと学習済みの生徒に、後で倍数を学ぶときに「でも倍数にはゼロを含まない」と倍数についての例外事項をいったん覚えさせて、しかもその後の高等教育で「やっぱり倍数にゼロを含む」と教えるのは、デメリットが大きいと感じます。

Taichi AOKI @aoki_taichi

@flute23432 負の整数を倍数として教育することについても同様で、負の掛け算を学習済みの状態なら、倍数を教えるときに、負の整数を含んでよいと思います。

Taichi AOKI @aoki_taichi

@flute23432 なお、私は倍数を学ぶときには、学習者が「ゼロには何をかけてもゼロ」をすでに学習済みであると想定していました。 もし「ゼロの概念は教育済みだが、ゼロの積は未教育の状態で倍数を教育する」というのが現在の教育順序でしたら、倍数に(いったん)ゼロを含めない というのは、意味あると思います。

Taichi AOKI @aoki_taichi

@flute23432 いま、そちらのサイトにある flute23432.blogspot.com/2019/08/blog-p… を読んでいるのですが、大変興味深いですね！ 私は80年代に義務教育を始めたものなので、70年代では算数教育が、より抽象的であったと知りませんでした。しかも、その時代でさえ、倍数にゼロをふくまないとは！

kistenkasten723 @flute23432

@aoki_taichi 今、1972年の学校図書の中学校数学１を見ているのですが、その26頁に、「0はすべての整数の倍数である」と書かれていますので、当時は、ゼロは倍数に、小学校では含まない、中学では含む、でした。しかし、正負の数の章の前なので、負の数は倍数に含まれていません。

Taichi AOKI @aoki_taichi

@flute23432 正負の前に、倍数を習う(習っていた？)のですね。それはそれでアリだと思います。 負の整数は、引き算を学んだ後であれば、すぐでもよいと思いますが、いっそ、ずっと引き延ばして(正の)無理数の後に負数を導入しても、成り立つかもしれませんね。 理科教育で氷点下の摂氏温度が表せなくて困るかな？

takehikom @takehikom

@aoki_taichi @flute23432 こんばんは。初等教育で倍数にゼロを含めない事情として、倍数・約数を通分（倍分）・約分に利用するというのがあるように思います。例えば5分の3と等しい分数は、倍数を使って10分の6、15分の9、...と列挙できるけれども、0分の0と書くわけにいきません