錐体続論

🍛たろう @tarou1944

@fffw2 はい、そこを読んでいましたが･･･言われてみれば確かにユークリッドが全部言っちゃってますね。でも三角錐の体積の話から円錐も同じように柱形の体積の３分の１だってことは説明でしそうな気がしてきました

🍛たろう @tarou1944

さて、円錐が円柱の３分の１の体積だってことは、積分を使わなくても説明できる気がしてきたが、球の体積の方の説明をちょっと考えてみよう

風霊守 @fffw2

やっと証明方法を見つけたが(ง° เ˚)วわ(ใ˚เ°)วか(ง° เ˚)วら(ใ˚เ°)วん(ง° เ˚)ว http://t.co/rZsb08viel

拡大

🍛たろう @tarou1944

三角錐が三角柱の体積の３分の１→円錐（柱）は三角柱の一つの頂点を中心に無限大に一周させた（∞角形）のもの→三角錐∞個の集まり＝体積は３分の１

🍛たろう @tarou1944

文字で表現するとめんどいが、図に描けば分かると思うです

風霊守 @fffw2

『原論』第12巻命題7の和訳を見つけた。任意の三角柱を3つの等積な三角錐に分割できるのか！特殊な三角柱だけだと思ってたが、任意の三角柱で分割可能なのか！ http://t.co/MAJ1OwyWkM

風霊守 @fffw2

おっと、途中でカバリエリの原理っぽいもの（『原論』第12巻命題5）を使ってしまっているじゃないか…

🍛たろう @tarou1944

球の体積も∞の三角錐が球の中心に向かっているから、表面積に高さ（中心までの距離＝半径）と３分の１を掛けてあげれば答えになる･･･んだが、表面積の説明が必要になりそうだ

🍛たろう @tarou1944

うむ、だいぶん分かりやすい説明法が出てきたぞ

風霊守 @fffw2

@tarou1944 そのアイディア、既に出てます…　http://t.co/BhphRdvIj8 の冒頭のツイート

🍛たろう @tarou1944

@fffw2 Σ(ﾟдﾟ )ﾊｳｯ!

風霊守 @fffw2

@tarou1944 先のTogetter は　円錐の体積を直感的に説明するには三角錐が必要（たろうさんと同じ発想）→三角錐の体積はどう説明するのか→（三角錐の等積変形を認めれば）三角柱の分割で説明できる→小中学生の空間把握能力では難しいかも（たぶんこれがオチ） という流れでした

🍛たろう @tarou1944

@fffw2 逆に言えば、三角錐の体積さえ説明できれば納得していただけそうですね

風霊守 @fffw2

@tarou1944 はい。しかし、その説明がなかなか難しいのです… （特に「底面積と高さが等しい三角錐は体積が等しい」という点）

🍛たろう @tarou1944

@fffw2 私もそう思って、大根の短冊切りみたいに、平面を取り出して、そこから面積の比で説明できないものか三角錐の前に模索していました（積分的発想法、でいいのかな？）こちらは未解決

🍛たろう @tarou1944

アレ？今どこまで考えていたっけ？

🍛たろう @tarou1944

あー、球の表面積を説明する方法。こいつができれば球の体積も三角錐で説明がつく

風霊守 @fffw2

@tarou1944 えーと、"大根の短冊切り"は三角錐に関する話ですか？それとも球？ 詳しくお聞かせください。何かヒントにつながるかも。

🍛たろう @tarou1944

@fffw2 まずは“円錐”を大根（円柱）に見立てて考えてみました。この理屈がうまくいけば、球にも応用できるかも

🍛たろう @tarou1944

微分・積分自体を中学生にも分かり易く説明できれば苦労はしないんだが･･･うむ、その手もちょっと考えてみよう

🍛たろう @tarou1944

えーと、三角錐の体積とかとは別口で

風霊守 @fffw2

@tarou1944 むむむ( ･̆‸･̆ )？？　円錐をどう切るのでしょう。

🍛たろう @tarou1944

@fffw2 円錐というか、円柱を薪を割るみたいにタテに割って、その断面図･･･と考えてみたのですが･･･どうでしょ？

🍛たろう @tarou1944

ん？今さらだけど、球の表面積って円の面積のちょうど４倍（説明なしなら暗記しやすいな、これ）

風霊守 @fffw2

@tarou1944 円柱を割るとかまぼこ型が2つになりますね。断面は長方形。これをどうするのでしょう？