積分とは・対数とは・微分とは〜「分かる」とはどういうことか〜

文系向け「統計学」の授業で、積分・対数・微分を復習する機会があった。その時の「1枚スライド」を公開した。この図をめぐって、「分かる」とはどういうことか、について多くのコメントをいただいた。それを、まとめました。(話が同時並行で進行するので、スレッド風の「まとめ」です。) 注意:積分は、統計学の場合、正規分布表を見るために必要。対数の必要性は、尤度関数(尤もらしさ)の対数をとって計算を簡単にする式変形で使うため。微分の必要性は、確率密度関数の最大値(尤度最大の条件)を求めるため。どれも統計学で必須の内容。 注意2:(追記8/6)ここに出てくる「指数、対数、微分、積分」は「感染症の数理モデル」の基礎となっている。 注意3:(追記8月9日)番外編『「積分」と「源氏物語」〜「晩年の清少納言」から「京都女子大」まで』へのリンクはこちらです。https://togetter.com/li/1572841
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MIZUNO Yoshiyuki水野義之 @y_mizuno

文系向け「統計学入門」の授業で、どうしても積分を説明する必要があった。教科書に出ている統計表(正規分布表)を見るため、だけでも、積分=面積、の理解が必要だった。それを1枚のスライドにまとめた。公開します。ご笑覧下さい。(ご笑覧シリーズ) pic.twitter.com/g649rDrmsC

2020-08-01 13:04:22
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MIZUNO Yoshiyuki水野義之 @y_mizuno

「積分」を知らないのは、源氏物語を知らないようなもの(紫式部女史には申し訳ない)。理工系の人で積分を知らない人はいない。仕事で使わずとも積分記号∫が「limitシグマ」の略だ理解した筈。忘れた人はスッと理解した人。政府が「数理・データ科学」の国民教育を言うなら、高校数学から始めよう。

2020-08-01 13:21:11
MIZUNO Yoshiyuki水野義之 @y_mizuno

先日「統計学入門」の授業の中で、「対数」をどうしても説明する必要があった。それで、スライド1枚で「対数とは?」を書いてみた。京都女子大学の学生さんにも、割と好評だったので、公開します。ご笑覧下さい。 pic.twitter.com/JPn40L3W0i

2020-08-01 11:08:28
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MIZUNO Yoshiyuki水野義之 @y_mizuno

対数を知らないのは、夏目漱石を知らないようなもの。(漱石先生ごめんなさい)対数を知らないという理工系はいない。指数と対数は(理工系のどの分野でも、多分絶対に)使うと思う。

2020-08-01 11:26:51
けんと @KentFF

リツイートって日本語では実効再生産数って言うのか。言い得て妙でしばらく本気で。 twitter.com/y_mizuno/statu…

2020-08-01 10:21:12
大田椿畝@あつ森フレンド募集中 @Kirokuro

対数にも自然対数と常用対数があって凄くややこしい twitter.com/y_mizuno/statu…

2020-08-01 11:09:34
MIZUNO Yoshiyuki水野義之 @y_mizuno

@Kirokuro コメント、ありがとうございます。その通りです。 このスライドでは、まずは常用対数で導入し、最後(スライドの下)(これは元々別ページ)で、しれっと自然対数にも触れてます。

2020-08-01 11:12:15
MIZUNO Yoshiyuki水野義之 @y_mizuno

@Kirokuro 慣れが必要な事は事実ですよね。でも文系の人も、Excel関数の引数、使わないと忘れますよね。(ちょっと違う?)

2020-08-01 11:38:52
MIZUNO Yoshiyuki水野義之 @y_mizuno

統計学の中で「最も、尤もらしい」という場合を求める必要があった。それで復習のため、「微分」について1枚のスライドにまとめた。これも京都女子大学の学生さんに好評のようだった。公開しまします。ご笑覧下さい。 pic.twitter.com/YfITMlIaXX

2020-08-01 11:31:18
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MIZUNO Yoshiyuki水野義之 @y_mizuno

「微分」を知らないのは、枕草子を知らないようなもの(清少納言女史にはすみません)。理工系で微分を知らない人はいない。利用頻度の違いはあるが、理工系で微分を使わない分野はないと思う。医療関係は本質的に人間相手の仕事ですが、仕事の中のアンケート調査で統計の必要を痛感する人は多い。

2020-08-01 11:36:46
kou お外から帰ったら手洗いします。 @kou5600

@y_mizuno 対数については、 10^X のとき X=log x という定義だが この定義に代入した 10^(log x)=x という表現の方がわかりやすいと思っている。 対数というのは、10をxにする指数。 1とか2とかの整数だけでなく、少数も考えると、 10をどんな数にもできる(マイナスにはできないけど)。

2020-08-01 12:06:39
MIZUNO Yoshiyuki水野義之 @y_mizuno

@kou5600 なるほど。確かに、その表現 10^(log x)=x もいいですね。ちょっと暗算の素養が必要な感じ?いろいろな理解の仕方があるとも思っているので、それもいいと思います。コメント、ありがとうございます。

2020-08-01 12:18:35
kou お外から帰ったら手洗いします。 @kou5600

@y_mizuno あとは、このあたりも今回の騒動では よく出てくる性質。 y=a^x → log y = (log a) x → y軸を対数にした片対数グラフで直線。 y=b x^a → log y = log b + a log x → x軸もy軸も対数にした両対数グラフで直線。

2020-08-01 12:14:51
MIZUNO Yoshiyuki水野義之 @y_mizuno

@kou5600 そうです、そうです。コメント、ありがとうございます。 ちなみに、今回公開したのは、授業資料の一部でしたが、対数グラフの見方も、本当、必須だと思ってます。

2020-08-01 12:24:14
竜田一人 @TatsutaKazuto

いやー、でも実際に漱石をちゃんと読んで理解して覚えてる人が、今の世の中にどんだけいるかっていうと、ねえ。 twitter.com/y_mizuno/statu…

2020-08-01 12:00:04
MIZUNO Yoshiyuki水野義之 @y_mizuno

@TatsutaKazuto はい。まぁそれで^^「知ってる」という共通部分を。

2020-08-01 12:26:11
竜田一人 @TatsutaKazuto

@y_mizuno 仰りたい意味は理解しております。不躾に失礼しました🙏

2020-08-01 12:38:25
暇爺 :趣味はバイクと猫と何・程両氏の大雑把翻訳。 @Minya_J

自分はこの辺で脱落したのかなあ…と、昔、登れなかった岩壁を見上げる老登山家の心境ですわw twitter.com/y_mizuno/statu…

2020-08-01 11:57:37
MIZUNO Yoshiyuki水野義之 @y_mizuno

@Minya_J この説明では、いかがですか。(思い出されれば幸い)

2020-08-01 12:28:13
tokita_pan @tokita_pan

対数っていつ習ったっけ。 対数グラフ見て感覚的には分かっても、対数is何?って言われたら言葉に詰まるなぁ。 ってことはちゃんと理解してなかったんだな。 twitter.com/y_mizuno/statu…

2020-08-01 11:54:35
MIZUNO Yoshiyuki水野義之 @y_mizuno

@tokita_pan いえいえ、対数とは何?って言葉で説明する事は意外に難しいと思います。コメント、ありがとうございます。 教える立場としては、必要が発生した時に理解アップデート(の機会)と思いつつ。やってます。「学んで時にこれを習う」(論語)という感じ?

2020-08-01 12:40:42
メグタン @meguchan1234

@y_mizuno いや〜これわかる人、Twitterやってる人の1割もいないと思います。その人達に感染者の対数グラフをどうやってわかってもらうかは課題ですね。 基本的な内容だけですからコロナ分科会の人たちは全員分からないといけない。

2020-08-01 12:39:20
MIZUNO Yoshiyuki水野義之 @y_mizuno

@meguchan1234 このレベルを分かっている人には、当たり前の内容。そこが難しいところかもしれません。伝えるのが(重層的に、何重にも)難しいという。自分にとって当たり前のことを説明する事は、もともと、難しいので適切に伝えるのが困難。

2020-08-01 12:50:25
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コメント

市川大河『多事争論 令和日本のゆくえ』発売中 @ArbUrtla 2020年8月6日
(まとめ主には私怨はないが)ここまで明確に自分が「理系的知的な流れの中に馬鹿参上」で改めて見ると、こんなん笑うわ
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石部統久 @mototchen 2020年8月6日
もうひとつのまとめがこちら。 文系の人にもわかりやすい積分の説明図 https://togetter.com/li/1568887
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石部統久 @mototchen 2020年8月6日
夏目漱石を知るには。 夏目漱石は文学論研究者 https://togetter.com/li/1559180
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るし@生涯足掻く @rusi2576 2020年8月6日
いや、だからわかりにくいから!
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半猫人(はんにょじん) @hannyozin 2020年8月6日
わかりやすい。理系でも就職してしばらくしたら忘れてしまいました。教科書だと何ページにもなるので、1枚で俯瞰して見れるのは良いですね。
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F414-GE-400 @F414_GE_400 2020年8月6日
文系における「夏目漱石の名前しか知らない学生」に相当する理系だった自分が言うのもなんだが、この説明は高校時代に習ったのと全く同じ。これを見て理解できたと言っている人は授業中寝ていたのか?と。逆に、真面目に授業を受けていたけど理解できなかったという人がこの説明で理解できるとは思えない。最近微積分を使っていないから忘れたという人に思い出させるにはちょうどいい内容かと。
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一華 @anemone2522 2020年8月6日
文系って文学だけじゃなく経済学や法学も文系だから源氏物語とか夏目漱石を例に出すのは変。
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Randy @kuppymichi 2020年8月6日
たまーに見かけるlogXの計算忘れてるな。
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ネワノ @One_of_Engineer 2020年8月6日
「理解したものが、ど忘れから思い出すのにちょうどよい記述」を「初学者または理解していない者に説明するのに適した記述」と勘違いもしくは混同する「教授しぐさ」の典型例に思えます。
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フルバ @furubakou1 2020年8月6日
生命、宇宙、そして万物についての究極の疑問の答え
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MIZUNO Yoshiyuki水野義之 @y_mizuno 2020年8月6日
まとめを更新しました。抜けていたコメントを追加しました。失礼しました。 「積分とは・対数とは・微分とは〜「分かる」とはどういうことか〜」 https://togetter.com/li/1571688
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ITDOREIKUN @ItDoreikun 2020年8月6日
理系だけど理解できてない… 生きるのがつらい
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ぬ~@宮城(^_^)/ @nu_u 2020年8月6日
対数だけは実感しないと理解できない分野だからなぁw 微積分はPID制御の話で「偏差は今、微分は未来、積分は過去」と教えられ合点がいった事を共有します(・ω・;)
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シャトー・ユースケ @ChateauxUSK 2020年8月6日
どれも高校で習う程度の話なのに、理解してる人1割って、日本の高校進学率何%だっけ?
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成金 @TadaSaboRou 2020年8月6日
微分積分って分かった積もりで微かに分かるやつでしょ
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シャトー・ユースケ @ChateauxUSK 2020年8月6日
「今の受験制度では、受験科目に数学がない大学学部が圧倒的に多い」ってマジかこれ。これは知らんかったわ。てか日本やばくね。
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ざわ子 @zawako312116 2020年8月6日
ChateauxUSK 数Ⅰさえやっとけば高校卒業は可なので、受験科目に数Ⅲとかないと擦りもせずに卒業する人は結構います。
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師走悠裡 @shiwasu_yuri 2020年8月6日
一応文系でも世界史で、古代エジプト文明時代でナイル川氾濫の後に地形が変わった土地を再分配しないといけなくなり曲線地形の面積を求める必要が出てきて、なるべく小さな正方形を並べる積分の原型が編み出されたという話はやるぞ。この正方形をできるだけ面積ゼロに近づける線分として組むと極限を使った数学の微積にたどり着くまで話すかどうかはわからんが
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take_tsu @taketsu4 2020年8月6日
10^2=100(10の2乗は100)は大体の人がわかると思う。それを前提に。「10を100にするために何乗すれば良いか、を表す数」が「指数(この場合は何=2)」。「何を2乗したら100になるか、を表す数」が「対数(この場合は何=10)」。ベースは単純なんですよね。
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take_tsu @taketsu4 2020年8月6日
対数を表す時に使う「log」は、英語の「logarithm(ロガリズム=対数)」の頭3文字なので、実は全くひねりのない表記なんですよねぇ。これは積分のところに出てくる「lim」もそう(limit=極限)。
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take_tsu @taketsu4 2020年8月6日
微分と積分はイメージを掴むのが難しい気がするのですが、積分は「面積を求めるため、細かく分けて計算して積み重ねる」イメージ。微分は「顕微鏡でグラフのごくごく1点だけをクローズアップして、その点がグラフの中でどういう状態にあるか(今後増える?減る?増えるなら急増?微増?など)を調べる」イメージ。
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おくとぱす @octopus_takkong 2020年8月6日
高校の頃を思い出す。教えられはしたが理解はできず、「こう書いてある時はこう処理する」というパターンだけ頭に入れるようにした。大学受験はもちろん文系狙い、二次で数学ない学部。センター試験はマークシートなので何とかなった。
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鼻炎 @8ri4QkQ9Vticpdd 2020年8月6日
元SMAPのリーダーが中居正○までしか思い出せない人に対して、「元SMAPのリーダーは中居正広です」ってスライドを見せて、「とてもわかりやすい!」って言ってるような、なんかそんな感じがする。
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なちゃ @nachakey 2020年8月6日
理系学部の卒論の時に、ある数値データをグラフにするのに対数グラフというやり方を友人にアドバイスしたことがあった。 そのときのことを思い出してみても、理系ですら全く知らない人間も多かった。
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ポッカ @pokka80 2020年8月6日
最近ドキュメントに苦戦しているせいか、なぜか面白くかんじた。仕事のドキュメントもこんな感じにしたい
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mikumiku_aloha @mikumiku_aloha 2020年8月6日
数学は、数式とグラフの対応がまずイメージできないという段階で挫折する人がいそうなので、そのレベルにはまだムズカシイと思うけれども、高校に入ってからの微積分で挫折した(自分もそれに近い)人には分かりやすい説明に感じる。
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mikumiku_aloha @mikumiku_aloha 2020年8月6日
円の面積の公式は円周の公式の積分といったあたりが微積分の最初の方で教えてもらっていれば。
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mi mi Jeremy @ChiguJeremy 2020年8月6日
taketsu4 「10を100にするために何乗すれば良いか、を表す数」は10を底、100を真数としたときの対数の定義ではないでしょうか。 指数は例えば二項演算10^2を考えたときの2を指すものであり、10^2=100という等式から導入するのは混乱を招くように思います。100は指数の定義には不要です。 また、「何を2乗したら100になるか、を表す数」は100の平方根です。 私の方が間違えていたら申し訳ありません。
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のこのこ @nokonokokamet 2020年8月6日
これで一から学ぶっていうならさすがに口頭での説明が前提だと思う
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シャトー・ユースケ @ChateauxUSK 2020年8月6日
zawako312116 だとしても高校生の半分くらいは理系選ばん?
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ひなぎく(じきに老人) @jikiniroujin 2020年8月6日
積分を源氏物語に、対数を夏目漱石に準えてるが、源氏も漱石も知らん人間は全くかすりもしないという点で、積分も対数も知らん人間は名前も知らん。 まあ、そういう意味では適切な比喩かも。思った以上に覚えてないもんよ。
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翡由良(hiyura) @PatriotMaya1227 2020年8月6日
微積って数Ⅱでしょ? みんな習ったでしょ
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たまご👑👑 @OkimotiDaizini 2020年8月6日
必修は数Ⅰ数Aだった気がする。習ってもわからないんですよ、感覚がわからない
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両棲装〇戦闘車太郎 @d2N5Q4GciZtsa2e 2020年8月6日
その数I,II,III分類やめろ、オレのような高専上がりには全く区別つかん
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ND=san @Ndebris_deux 2020年8月6日
わかる人、わかってたけど忘れた人には有用なんだろうね。あと文系でもある程度数学に明るい人向けなのだろう。
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ND=san @Ndebris_deux 2020年8月6日
統計の知識が必要だと痛感していても中学数学や場合によっては算数で躓く人間がいるなんて、こういう方にはわからんだろうなあ。
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大地 @6Z6O7mbhHUKxu1x 2020年8月6日
高校時代先生ガチャハズレだったから数学やり直したいなぁ…
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おでん @nupinnin 2020年8月6日
微積がスライド一枚にまとめられるほど単純だったらどれだけよかったか...
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nekosencho @Neko_Sencho 2020年8月6日
とりあえすたいていの人には概念としてどういいうもんかがわかってればいいんじゃないの? 実際に数式を駆使してどうとかまで必要な人は専門的にやる人くらいでしょ
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Ayuha_m @aymhtnk 2020年8月7日
「原始関数を求める行為」(不定積分)と、「原始関数を使って関数の区間面積を求める行為」(定積分)がどちらも「積分法」と呼ばれているのは割とギルティだと思う。全然違う概念だし、先に習う微分には定積分に対応する概念が無いのも混乱に拍車をかける。
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Ayuha_m @aymhtnk 2020年8月7日
対応関係としては、微分 ⇔ 不定積分が適切だけど、実用上「積分する」と言ったら基本的に定積分を指すというのがまたややこしい。
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みま @mimarisu 2020年8月7日
指数と対数は掛け算割り算みたいなもの 2×2=4みたいに4×4×4=4^3=64 何回掛けたが指数 4÷2=2みたいに64÷4÷4÷4=log4 64=3 何回割ったかが対数
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みま @mimarisu 2020年8月7日
訂正 64÷4÷4÷4→ log4 64=3
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takatakattata @takatakattata1 2020年8月7日
元々ちゃんと理解してた人用の思い出しメモなら分かる
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サディア・ラボン(ドラクエ10ではヒエロサロメ) @taddy_frog 2020年8月7日
2の3乗は8で、8の3乗根は2ですけど、  log8÷log2=3というのは、PC-98が使えなくなってウィンドウズに買い替えて、BASICを人間用の式に書き直した時に知りました。
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サディア・ラボン(ドラクエ10ではヒエロサロメ) @taddy_frog 2020年8月7日
ぼくは最後の学校を出てから何年も経った後で、運良くたまたま読んだ本に、a^2 = b^2 + c^2 − 2bc・cos A という式が載ってたので、  敵と爆弾の距離^2=自分と爆弾の距離^2+自分と敵の距離^2 - 2×自分と敵の距離×自分と爆弾の距離×cos自分から見た敵と爆弾の角度  という計算をして、漫画を楽に描けたのがきっかけで、数学を好きになりました。
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両棲装〇戦闘車太郎 @d2N5Q4GciZtsa2e 2020年8月7日
aymhtnk なお定積分の区間上限を変数に定義することで不定積分を定義できる、って繋ぎ方があるけどね
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まかべたかし @bakashinu 2020年8月7日
「微かに分かって分かった積もり」って書くのが微分積分。
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流れるまま @1habataki 2020年8月7日
積分の図に関してはまとめ10ページにある図の方が分かりやすく感じました
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流れるまま @1habataki 2020年8月7日
無学者~初学者の自分が積分のスライドを見たとき、 lim n→∞ Σk=0 n-1 の部分にはaもbもないのに、何で∫とかいう靴ベラみたいな記号で略すときはaとbがくっついてくるんだとか、 dxのdってどっからきたんだとか、 そもそもΣk=0 n-1の意味が【kの初期値を0とおき、Σの右にある計算を1回する度kの値に1を足していき、そのkがn-1と同じ値になるまでΣの右にある計算を繰り返す】であることも忘れてる人も多くいるのではないか(ので自分はググった)とか思いました
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さーたん@もふもふ @tripleodd 2020年8月7日
高校の数二の教科書だと積分は微分の逆としか説明しないからかなりわかりにくいし、微分係数の説明も意味不明だった。数学アレルギーを産むのは教科書の説明自体が糞ってのもあんじゃないかな
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gx9900 @GX9900GUMDAMX 2020年8月7日
いきなり∑はきつい。中学の数学レベルで説明して欲しい。
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ゴマすりクソバード@自由人 @animefigure3d 2020年8月7日
源氏物語を知らなくても生きていける。 でも、知ってると世界はもっと面白い。 微積分も同じ、という微積分がわからない人は理系の学問を修めていないのと同意と言っていいほどの基礎だ。微積がわからない人は科学の面白さを知らない人だ。
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唯野 @tadano29 2020年8月9日
積分も対数も、中学レベルの数学が理解できればわかるように書いてあると思うが……
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MIZUNO Yoshiyuki水野義之 @y_mizuno 2020年8月9日
まとめを更新しました。番外編:『「積分」と「源氏物語」〜「晩年の清少納言」から「京都女子大」まで』、へのリンク(https://togetter.com/li/1572841)を追記しました。
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Kinotea@ @Kinotea10 2020年8月13日
ChateauxUSK 高校で専門の分野選んだ人は数Iまでだ。大学より職を選んでしまった全く分からない人もいる。
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Akane Haus@尾張横須賀鎮守府 @karl_renner_sdp 2020年8月31日
高校数学の必修科目は数Ⅰだけで、それ以外は学校の教育課程次第の選択科目 でも、工業高校は数学Ⅰ,Ⅱ,Ⅲまでやるべきだと思う
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