数学的帰納法はなぜそう呼ばれるか
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しんじけ
@shinjike
@nasastar うむ、たいしたものだ。（ただ、いや、つまり、そもそも演繹も（経験的）帰納法も、数学的帰納法もわかっていたのかなー、ということでして...）
2013-01-20 18:45:26
トムクルーズ
@tomcru_
うむむ、結局ド・モルガンがなぜ帰納法なんて言葉を使ったのかはよくわからんな。 Wallisが、マジもんの「帰納法」を使ったのに対し、Bernoulがn→n+1の方法を改良案として提示したという出来事が存在するらしいので、それが理由なのかもしれない。
2013-01-20 18:58:54
トムクルーズ
@tomcru_
しかし、数学者が、6つぐらいの例を出して、「だからすべての自然数に成り立ちます、証明終わり」と言い放っていた時代が存在するというのはおどろくべきものがあるな。
2013-01-20 19:11:20
しんじけ
@shinjike
@silver_pork Wallisはチートですね。研究会で原文も参照しましたが、わかるやろ、という感じでした。しかも合っているからたち悪い。Cajori論文眺めてみましたが、まとめていただいた通り、nからn+1への論証を数学的帰納法の核とすると、ヤコブ・ベルヌーイががんばた。
2013-01-20 19:16:48
トムクルーズ
@tomcru_
@kagami_hr いえ、A(1),A(2),A(3)...を見せることで、A(x)の証明を理解させるような形ならいいと思いますけど、Wallisの証明は、(n^2)!/(n^2)(n+1)が1/3に収束するというのを、nに1から6から代入して計算してみせてはいおわり、という形
2013-01-20 19:21:24
トムクルーズ
@tomcru_
@kagami_hr もちろん教科書で自明な命題だから、証明は省略して例だけというのは現代でもあると思います。でもWallisは「証明」として枚挙を用いているようです。
2013-01-20 19:25:10
トムクルーズ
@tomcru_
@kagami_hr 1^2+2^2+3^2…+n^2=Nとした時,N/((n^2)(n+1))が1/3に収束する、の間違いでした。数式打つの難しいです…
2013-01-20 19:30:26
しんじけ
@shinjike
@silver_pork ド・モルガンは、物理学と同じように、いくつかの事例の観察から一般的結論が導き出せる、という点に、「帰納法」という名前を数学にもつける正当性を見ているようだね。
2013-01-20 19:32:18
しんじけ
@shinjike
1.「数学的帰納法」Mathematical Inductionという術語を最初に提出したのはド・モルガンであり、それは1838年の*Penny Cyclopedia*の項目においてだった。
2013-01-20 20:00:12
しんじけ
@shinjike
2.「数学的帰納法」がそのように名づけられたのは、すべての個別事例の検討を含む論証から一般的真理の集まりを導く点で、物理学で用いられる帰納法に類似するためである。物理学の帰納法と異なるのは、数学の帰納法では各事例が前のステップに依存することである。
2013-01-20 20:02:34
しんじけ
@shinjike
3. しかし、論証を観察の代わりに用いると、数学的なプロセスは実験的なプロセスとのあいだにアナロジーが見られる。そこで、ドモルガンは数学の帰納法を、「継起的帰納法」Successive Inductionと名づける、十分な正当化を得たと考える。
2013-01-20 20:03:48
しんじけ
@shinjike
4. 実際にいくつかの具体例を示した後、項目の最後に、"mathematical induction"という術語の、歴史上最初となる登場がある。参考：http://t.co/DPO0pstu Thanks to @silver_pork
2013-01-20 20:07:20
しんじけ
@shinjike
ド・モルガンが言う、物理学における帰納法はよく知らないのですが、すべての個別事例の観察から一般的結論を導くという、実験データの集積のようなものですかね。
2013-01-20 20:11:15